GEOGEBRA EN EL AULA DE MATEMÁTICAS
IES "Tierra de Ciudad Rodrigo"
1-23 de Febrero de 2012

• Objetivos

  • Conocer el entorno gráfico e interactivo del programa.
  • Conocer los procedimientos para realizar construcciones sencillas.
  • Conocer las posibilidades que ofrece Geogebra el proceso de enseñanza-aprendizaje.
  • Crear unidades didácticas utilizando este programa.

• Metodología

  • Las sesiones serán fundamentalmente prácticas con breves interrupciones para comentar lo más significativo.
  • Utilizaremos esta página como guión del curso.
  • Habrá dos tipos de actividades:

  • Guiadas, en las que se explica paso a paso las construcciones a realizar. Con cada una de ellas se introduce el uso de una nueva herramienta de Geogebra
  • Propuestas, las indicaciones que se dan no son del funcionamiento de Geogebra Encaminadas a afianzar el uso de herramientas

  
  

  • En cualquier momento se pueden plantear dudas o hacer preguntas.

  
  IMPORTANTE:
  Para guardar el trabajo de cada sesión utilizar un pendrive o similar.
  
  

• Desarrollo del curso

  Seis sesiones presenciales de tres horas de duración los días 1, 2, 7, 14, 16 y 23 de febrero de 2012 de 16:00 a 19:00.
  
  

  1ª Sesión. Introducción al programa. Instalación. Interfaz del programa. Rápido recorrido por alguna de sus herramientas. Primeros pasos. Cuadro de Propiedades de Objeto	2ª Sesión. Vista Gráfica y Hoja de Cálculo Textos Control de la construcción Nuevas herramientas	3ª Sesión. Aplicaciones de Geogebra Imagenes y color Ejercicios propuestos: Círculo de Feuerbach
  4ª Sesión. Ejercicios propuestos: Movimientos en el plano y otros Páginas web	5ª Sesión. Recursos. Busqueda en internet Actividades para el aula	6ª Sesión. Actividades para el aula. Un ejercicio casi completo
  Sesión EXTRA. Crear dos unidades didácticas personales para aplicar en clase con los alumnos.

  
  
  
  

• Ventajas de un DGS

  • Las figuras dejan de ser estáticas presentándose en forma de animaciones.
  • Los diseños pueden modificarse a través de ciertos parámetros y comprobar los efectos de los cambios.
  • Se trabaja con ejes de coordenadas.
  • Los menús personalizados permiten limitar las herramientas disponibles.
  • Permite diferenciar entre “construir” y “dibujar”.
  • Admite la creación de macros o procedimientos generales..
  • Incluye los procedimientos clásicos de la geometría como la construcción de lugares geométricos o la posibilidad de transferir medidas de un lugar a otro y de un objeto a otro.

• Distintos programas

  Existen varios programas de Geometría Dinámica que son similares aunque cada uno tiene características especiales que le hacen mejor para algunas cosas:

  Programas comerciales
  Cabri-Geometre, es el más antiguo y por ello tiene la ventaja de tener el mayor número de desarrollos efectuados por usuarios, está incluso incluido en algunas calculadoras gráficas de Texas Instruments. Hasta hace relativamente poco tiempo era el más utilizado..
  	Sketchpad, es tan antiguo como Cabri y con gran difusión en Estados Unidos. Tiene todas las cualidades de Cabri y además tiene posibilidades de tratamiento y estudio de funciones, lo que permite ser utilizado también en temas distintos de los estrictamente geométricos.
  Cinderella, tiene la ventaja de estar programado en Java, posee potentes algoritmos utilizando geometría proyectiva compleja, un comprobador automático de resultados y la posibilidad de realizar construcciones y visualizar en geometría esférica e hiperbólica. Por el lado negativo no admite "macros".
  	GEUP, está también en castellano y programado por un español: Ramón Álvarez Galván. Se puede descargar desde la página www.geup.net
  Programas gratuitos
  R y C (Regla y Compás), está también programado en Java, está traducido al castellano y tiene la ventaja de ser de libre uso y gratuito. Permite la exportación de ficheros a formato html para visualizarlos con cualquier navegador. Tiene prestaciones similares a Cinderella o Cabri aunque es menos versátil. Pero más allá de las construcciones simples, es un poderoso programa que utiliza macros, expresiones, exportación a web, scripting y muchas otras funciones avanzadas.
  	Geonext permite la creación de construcciones geométricas con un número variado de herramientas para la construcción. Como es de código libre, puede ser utilizado tanto en los centros educativos como en casa sin pagar absolutamente nada.
  WinGeom, excelente programa geométrico que no tiene nada que envidiar a los programas comerciales. Permite trabajar con herramientas de construcción y medida tanto en el plano como en el espacio. Incorpora la posibilidad de trabajar con geometría esférica e hiperbólica. Forma parte de un conjunto de distintos programas conocido con el nombre de "Peanut Software" desarrollado por Rick Parris de la Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Se puede descargar en http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wingeomz.exe
  	Ah, y por supuesto... ¡¡¡Geogebra!!!.

• Solo DGS o ¿algo más?

  La potencia didáctica que posee GeoGebra se fundamenta en la visualización simultánea de dos tipos diferentes de representación: la gráfica y la simbólica.
  
  

  Los objetos pueden ser creados con el ratón o bien ser definidos en la entrada de comandos. En cualquiera de los dos casos la representación simbólica y gráfica será la misma. Es decir, Geogebra muestra una identificación visual permanente entre las coordenadas de un punto y su representación en el plano.

  Geogebra es un programa de cálculo simbólico modesto, pues no hay que olvidar que la finalidad de este programa es facilitar el aprendizaje escolar.
  Permite introducir directamente expresiones numéricas, puntos, vectores, ecuaciones de rectas y cónicas, y funciones, puede resolver sistemas, hallar las raíces de una función, o representar la función derivada y una primitiva.
  
  La entrada de los comandos se realiza en una ventana de una sola línea, situada en la parte inferior de la pantalla.
  Casi todos los comandos están en español.
  La salida se presenta en la ventana algebraica, situada en la parte izquierda de la pantalla. Esta ventana algebraica no sólo es de salida, sino también de reentrada, de forma que se puede volver a editar cualquiera de los objetos (si conserva algún grado de libertad).
  
  Geogebra no ofrece una representación simbólica de los resultados numéricos, sino una aproximación de los mismos. Las expresiones con fracciones, raíces, y operadores en general, están permitidas en la introducción de datos numéricos, pero desaparecen en la salida (salvo en las funciones), quedando reducidas a una aproximación decimal.
  Al convertir las expresiones numéricas en aproximaciones decimales, se consigue que la observación de las variaciones se realice al mismo tiempo en las dos ventanas, permitiendo una correspondencia visual entre ambas representaciones, numérica y gráfica, de alto valor pedagógico.
  
  Geogebra tampoco permite el tratamiento indefinido de variables (salvo x e y, que están reservadas). Una letra no puede representar, por ejemplo, un número real cualquiera. Así, aunque podemos calcular la derivada de f(x) = 2x, no podemos generalizar el cálculo a la derivada de f(x) = kx. La constante k debe poseer en todo momento algún valor concreto. De igual modo, tampoco podemos discutir un sistema lineal según los valores de un parámetro indefinido.
  La imposibilidad de trabajar con variables indefinidas, es de nuevo consecuencia del objetivo prioritario de mantener esta correspondencia visual entre las dos ventanas. Una variable indefinida no puede ser representada gráficamente, a menos que adquiera un valor concreto. Así, la función f(x) = kx corresponde en realidad a toda la familia de funciones lineales, cuya representación eclipsaría totalmente la ventana gráfica.

  Con Geogebra se pueden usar coordenadas cartesianas o polares. Las ecuaciones de las rectas pueden ser paramétricas o generales. También se ofrecen distintas alternativas a las ecuaciones de las cónicas. Todo ello con el propósito de insistir en la dualidad de las representaciones, simbólica y gráfica.
  
  En los comandos de análisis que ofrece Geogebra se observa un cuidadoso interés para que las representaciones ayuden a la comprensión de los conceptos básicos. Es el caso, por ejemplo, del comando Pendiente, que anexa un triángulo rectángulo de cateto horizontal unidad con hipotenusa en la recta, representación extremadamente útil para comprender los conceptos de pendiente, derivada y función derivada. O el caso de SumaInferior y SumaSuperior que dibuja rectángulos por debajo y por encima de la gráfica de la función. O el comando Integral[f, g, a, b], que sombrea la región comprendida entre las gráficas de dos funciones.
  
  Geogebra incorpora muchas posibilidades para la gestión de listas de números e incorpora el automatismo de Matriz que, internamente es una lista de listas y las operaciones correspondientes a:

  • Suma, Resta y Producto de Matrices.
  • Trasposición de Matrices.
  • Producto de un número por una Matriz
  • Producto de un vector por una Matriz.
  • Cálculo de Determinantes.
  • Cálculo de Inversa de una Matriz.

  
  

  Además incorpora una Hoja de Cálculo con lo que no es necesario salir de Geogebra para obtener series de valores numéricos a partir de funciones, o, lo contrario, representar una serie de puntos dados en forma de tabla. (La representación gráfica de datos no tiene la presentación que tienen otros programas de Hoja de Cálculo pero, como ocurre con la parte de cálculo, se ha sacrificado en beneficio de la interacción con el resto de ventanas)

• Curiosidades

  • GeoGebra surgió en 2001 como el trabajo de fin de master en Educación Matemática en la Universidad de Salzburgo (Austria) de Markus Hohenwarter, por entonces profesor de instituto de educación secundaria. Lo que se suponía que iba a ser una herramienta menor, casi de uso personal, ganó en 2002 el premio de la academia europea de software (EASA) en la categoría de Matemáticas y en 2003 el premio al mejor software académico austriaco. Según el propio Hohenwarter relata, se vio entonces obligado a continuar con el proyecto que se convirtió en el tema central de su tesis doctoral en la misma universidad. Desde entonces, la herramienta, que se sirvió del boca a boca e Internet para distribuirse rápidamente por todo el mundo, se ha convertido en un proyecto colaborativo con usuarios en más de 190 países y versiones en decenas de idiomas. Actualmente el proyecto continúa en la Universidad de Atlantic, Florida, con Markus Hohenwarter y un amplio número de colaboradores de diferentes países.
  • Es un software libre bajo licencia GNU creado para que pueda se utilizado en colegios y universidades
  • Está escrito en Java y por tanto está disponible para cualquier sistema operativo.
  • Está disponible en varios idiomas
  • Se puede instalar en el ordenador o trabajar on line sin necesidad de instalarlo.
  • Tiene constantes actualizaciones e implementaciones de nuevas herramientas y comandos
  • Existe un amplio número de ejemplos.
    
  • Por sus características se puede enmarcar en la categoría de "software de geometría dinámica" [del inglés: DGS] aunque posee características propias de los procesadores de cálculo simbólico.
  • Es una aplicación de geometría dinámica que permite utilizar expresiones algebraicas, hacer cálculos propios del análisis y trabajar con una hoja de cálculo, todo ello en la misma pantalla.
    
  • Permite realizar construcciones dinámicas, fácilmente exportables a aplicaciones web, desde las que podemos manipular las expresiones (geométricas, numéricas, algebraicas o tabulares) y observar la naturaleza de las relaciones y propiedades matemáticas a partir de las variaciones producidas por nuestras propias acciones.
    
  • La última versión casi estable de GeoGebra incorpora el procesador de cálculo simbólico "Maxima".
  • Pueden realizarse construcciones mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible.
    Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.
  • Permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.
  • A pesar de su corta historia GeoGebra se está convirtiendo en una herramienta muy útil en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
  • Los archivos ggb que crea GeoGebra son reconocidos por Moodle, que los abre directamente.
  • Podemos crear una página web (archivo html) con GeoGebra, y subirla tal cual a Moodle o podemos tomar el código html de GeoGebra y ponerlo en Moodle, pero para eso hay que saber un poco más de html y de Moodle.
  • Ha obtenido una serie de prestigiosos premios a la calidad didáctica.
    • NTLC Award 2010: National Technology Leadership Award 2010 (Washington D.C., USA)
    • Tech Award 2009: Laureat in the Education Category (San Jose, California, USA)
    • BETT Award 2009: Finalist in London for British Educational Technology Award
    • SourceForge.net Community Choice Awards 2008: Finalist, Best Project for Educators
    • AECT Distinguished Development Award 2008: Association for Educational Communications and Technology (Orlando, USA)
    • Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award for "Wurfbewegungen mit GeoGebra" (Vienna, Austria)
    • eTwinning Award 2006: 1st prize for "Crop Circles Challenge" with GeoGebra (Linz, Austria)
    • Comenius 2004: German Educational Media Award (Berlin, Germany)
    • Learnie Award 2005: Austrian Educational Software Award for "Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra" (Vienna, Austria)
    • digita 2004: German Educational Software Award (Cologne, Germany)
    • EASA 2002: European Academic Software Award (Ronneby, Sweden)

  
  

  • No es un programa de edición. Permite seleccionar, copiar y pegar pero tiene en cuenta las propiedades de los objetos selecionados...
  • La versión estable actual no es 3D.
  • Presenta algunas limitaciones en el cálculo simbólico.

• Formas de usar GeoGebra

  • Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, ya sean dirigidas o abiertas, de resolución o de investigación.
  • Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes, protocolos de construcción) o dinámicos (demostraciones dinámicas locales, applets en páginas web).

  
  
  

• ¿Cómo funciona Geogebra?

  GeoGebra permite trabajar con objetos de geometría, álgebra, análisis y estadística. Estos objetos pueden ser introducidos directamente en la ventana principal o a través de la Entrada de Comandos.
  
  El ratón tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las acciones se hacen con el ratón desde la Ventana Gráfica.
  
  Podemos construir de modo muy simple puntos, segmentos, polígonos, rectas, vectores, cónicas, gráficas de funciones, curvas paramétricas y diagramas estadísticos. Todo ello dinámicamente, de forma que cualquier objeto puede sufrir modificaciones con un simple deslizamiento del ratón.
  
  Cuando se crea un objeto geométrico con GeoGebra automáticamente el programa le asigna un nombre utilizando la notación usual, esto es, para nombrar un punto utiliza una letra mayúscula; al crear una recta, un vector o un segmento le asigna una letra minúscula, al crear un ángulo utiliza letras griegas... Es posible cambiar el nombre de un objeto de una forma sencilla. Al cambiar el nombre de ese objeto cambia automáticamente ese nombre en todos los objetos que de él dependen. También es posible mostrar u ocultar el nombre de los objetos e incluso, los mismos objetos.
  
  Por defecto, los puntos libres aparecen con color azul intenso, los puntos semilibres en azul pálido, los ángulos y listas en verde oscuro, y el resto de objetos en negro o gris oscuro. (Estas características pueden modificarse fácilmente).
  
  Permite ocultar o mostrar las ventanas Algebraica o de Hoja de Cálculo, personalizar la barra de herramientas y crear herramientas propias de una manera sencilla.

  Para profundizar en GeoGebra, conocer su desarrollo, consultar foros y wikis, etc., lo mejor es dirigirse a la página oficial:

  geogebra.org

  Además, existen otros sitios web con muchas construcciones realizadas con GeoGebra, clasificadas temáticamente y listas para usar en nuestras clases. Uno de los más destacados, en español, es geometriadinamica.es, cuyos autores pertenecen al Instituto GeoGebra de Cantabria, a su vez vinculado al International GeoGebra Institute:

  geogebra.es

  
  
  

• Sin instalación

  Si disponemos de conexión permanente y estable a internet no es necesario instalar el programa.
  Esta opción presenta dos ventajas:
  No se instala nada en el ordenador por lo que no es necesario contar con el administrador del equipo para poder trabajar con GeoGebra
  Siempre estaremos trabajando con la última versión del programa
  Para ejecutar GeoGebra on line se puede acceder desde la página oficial del programa.
  
  

• Con instalación

  
  Si no disponemos de conexión permanente a internet o queremos tener el programa siempre disponible podemos instalar el programa desde el Teleinicio de la página oficial de GeoGebra que instalará la última versión estable del programa y creará un icono de acceso directo en nuestro escritorio o también podemos descargar el archivo para una posterior instalación sin conexión (hay que seleccionar el sistema operativo en el que se instalará el programa)
  
  

• Versión en pruebas

  
  Para utilizar la versión en pruebas de Geogebra, que incorpora, entre otras cosas, el procesador de cálculo simbólico Maxima (CAS) se puede ir Geogebra 4.2
  
  Atención: Puede ser que los archivos generados con la versión en pruebas fallen cuando se ejecutan con la versión estable o con versiones futuras.
  

• Versión 3D

  
  Para utilizar la versión 3D de Geogebra: Geogebra 5.0
  
  Atención: Puede ser que los archivos generados con la versión 3D fallen cuando se ejecutan con la versión estable o con versiones futuras.

3. Campo de entrada: Dibujar un cuadrado

   Vamos a empezar utilizando los Comandos de Geogebra a través de la Línea de Entrada.
   • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
     Estarán visibles la ventana algebraica y la ventana gráfica con los ejes de coordenadas.
   • Escribir en la Línea de Entrada cada una de las siguientes expresiones (tal como se muestran):
     A=(1,0)
     B=(-1,5)
     Segmento[A,B]
     Perpendicular[A,a]
     Perpendicular[B,a]
     Circunferencia[A,B]
     Interseca[d,b]
     Recta[C, a]
     Interseca[c,e]
     Segmento[A,C]
     Segmento[C,E]
     Segmento[E,B]
   • Por último, desde la ventana algebraica ocultar los puntos A,B, C, D y E, las rectas b, c y e, y la circunferencia d pulsando sobre el icono de cada objeto.

   Nota: Para intersecciones se utiliza el comando "interseca". Se reserva "intersección" para manejar listas. Se puede acceder a los comandos introducidos en la Linea de Entrada utilizando las flechas del teclado o el icono "flecha" de la línea de entrada.

6. Uso de herramientas: Triángulo equilátero.

   Vamos a construir (no dibujar) un triángulo equilátero. Para ello hay que:

   • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
   • Ocultar los ejes y la vista algebraica. Se puede hacer de dos formas:

     Desde el menú Vista, desmarcar las opciones Ejes y Vista Algebraica.
     
     
     Pulsando con el botón derecho del ratón en la zona gráfica y desmarcar la opción Ejes y pulsando en el icono de cierre de la ventana algebraica.
     

   • Para que al insertar un punto aparezca su nombre al lado del punto, ir al menú Opciones, submenú Rotulado y seleccionar "Sólo los nuevos puntos"
   • Seleccionar la herramienta Nuevo Punto y construir dos puntos A y B.
   • Seleccionar la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos . Construir la circunferencia con centro en el punto A que pasa por B y la circunferencia con centro en B que pase por A.
   • Con la herramienta Intersección de Dos Objetos y construir el punto de intersección C de las dos circunferencias.
     Nota: Si se seleccionan los dos círculos, se construyen los dos puntos de intersección C y D, sin embargo para dibujar solo uno se debe escoger la herramienta y hacer clic en uno de los puntos de intersección.
   • Utilizar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir los segmentos AB, BC y AC
   • Con mover los puntos A y B y observar que, independientemente del movimiento, el triángulo sigue siendo equilátero.
   • Utilizar la herramienta Expone / Oculta Objeto (situada en el grupo de herramientas "Escenario") para ocultar las dos circunferencias y dejar visible únicamente el triángulo. (Los objetos se ocultan cuando se cambia de herramienta).

   
   Ejercicio propuesto: Dibujar un cuadrado sin utilizar la herramienta Polígono Regular
   

• Cambiar propiedades de objetos: Parábola a partir de la definición

  Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y una recta llamada directriz.

  • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
  • Ocultar los ejes de coordenadas.
  • Seleccionar la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y construir la recta "a" que pasa por los puntos A y B. Renombrar la recta llamándola "Directriz".
    Nota: Para cambiar el nombre a la recta se hace clic derecho sobre ella y se selecciona Renombra (o se elige la opción Propiedades..., y en la lengüeta Básico se le cambia el nombre).
  • Ocultar los puntos A y B.
  • Activar la herramienta Nuevo Punto y construir un punto que no esté en la recta. Renombrar este punto llamándolo F.
  • Seleccionar la herramienta Nuevo Punto y construir un punto C en la recta "Directriz", (se resaltará la recta) .
    

    Nota: El punto debe pertenecer a la recta de forma que si se escoge la herramienta Elige y Mueve (la flecha) y se mueve este punto entonces se mueve por la recta sin salirse de ella.

  • Seleccionar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir el segmento "b" entre los puntos F y C.
  • Con la herramienta Punto Medio o Centro construir el punto medio D del segmento "b".
  • Con la herramienta Recta Perpendicular construir la recta "c" perpendicular al segmento "b" que pase por el punto D y también la recta "d" perpendicular a la recta "a" que pase por el punto C.
  • Cambiar el estilo a la recta "c" haciendo clic derecho sobre ella ,y en Propiedades..., la lengüeta Estilo seleccionar el estilo deseado.
  • Para cambiar el estilo de "d" se puede repetir el mismo proceso o utilizar la herramienta Copiar Estilo Visual para aplicarle el mismo estilo que a la recta anterior.
  • Escoger la herramienta Intersección de Dos Objetos y construir el punto de intersección E entre las rectas "c" y "d".
  • Ocultar C, D, E y el segmento CF.
  • Elegir la herramienta Lugar Geométrico para construir el lugar que se forma por el punto E cuando el punto C se mueve.

    Nota: Observar la ventana algebraica y comprobar que no aparece ninguna expresión del lugar geométrico.

  • Cambiar Color y el Grosor del trazo en Propiedades... del lugar geométrico.
  • Comprobar que el lugar geométrico anterior coincide con la parábola que se puede dibujar utilizando la herramienta Parábola .

    Nota: Ahora aparece la ecuación de la parábola en la ventana algebraica

  • Con mover el foco, punto F, y la recta para observar las variaciones de la construcción.
  • Guardar el archivo.

  Ejercicio propuesto:

  Elipse: Si se tienen dos puntos llamados focos y se sabe que la elipse está definida por los puntos que cumplen que la suma de la distancia del punto a los focos es constante, construir una elipse.

• Activar rastro: Otra forma de construir una elipse

  • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
  • Ocultar los ejes de coordenadas.
  • Introducir un Deslizador con nombre "rd" en modo número con valor entre 0 y 10 e incremento 0,1.
  • Dibujar una circunferencia con centro en cualquier punto y radio "rd" utilizando .
  • Renombrar el centro de la circunferencia llamándolo O.
  • Representar un punto P sobre la circunferencia. (Renombrar el punto).
  • Dibujar el punto medio M de OP. (Renombrar el punto).
  • Dibujar una circunferencia de radio igual a "rd/2" centrada en M y un punto (cambiar el nombre) K situado en ella.
  • Construir un deslizador, α, en modo ángulo con valores entre 0° y 360° y con un incremento de 0.2°.¡¡¡ATENCIÓN: No borrar el "simbolito" de los grados. NO PUEDE ESCRIBIRSE DESDE EL TECLADO!!!
    
  • Rotar el punto M respecto de O un ángulo α .
  • Rotar el punto K respecto de M' (rotado de M) un ángulo igual a - α .
  • Seleccionar la herramienta Semirrecta y dibujar la semirrecta que empieza en M' y pasa por K' (rotado de K).
  • Dibujar un punto J cualquiera en esta semirrecta .
  • Activar el rastro del punto J
    .
  • En las propiedades del deslizador ángulo, en la pestaña Básico, activar Animación Automática y en la pestaña Deslizador, seleccionar en Repite: Aumentando (Una vez).
  • Con la Cónica que pasa por cinco puntos , seleccionar cinco puntos del rastro de J y comprobar que el rastro corresponde a una elipse.
  • Resituar el punto J y repetir dibujar elipse.
    Nota: Observar que la Cónica dibujada anteriormente no está "ligada" al rastro de P.
    
  • Guardar el archivo.

  ATENCIÓN:

  • El trazo es un fenómeno temporal. Cada vez que la gráfica se actualiza el trazo desaparece.
  • El trazo no puede ser grabado y no se muestra en la ventana algebraica.

• Configuración Vista gráfica y Hoja de Cálculo

  Vamos a crear un archivo que simula las ventas de una empresa durante un año.
  Para ello utilizaremos la hoja de cálculo implementada en Geogebra y la vista algebraica para representar, mediante un gráfico, las ventas anuales.
  Para tener mayor versatilidad, utilizaremos los comandos que permiten tener distintos resultados cada vez que se regenera la construcción.
  Debe quedar algo parecido a esto:
  
  Hay que cambiar colores, ejes, cuadricula....
  Para acceder a Configuración de la Vista Gráfica:

  • Ir al menú Opciones y seleccionar Configuración

  • Pulsar con el botón derecho del ratón en cualquier zona libre de la vista gráfica o de la hoja de cálculo.
    

  • Abrir un archivo nuevo.
  • En el menú Apariencias seleccionar Hoja de Cálculo y Gráficos
    
  • Cambiar color de fondo de la zona gráfica (elegir un color claro).
  • Redimensionar la ventana con algo parecido a
    
  • Cambiar las opciones de los ejes en EjeX y EjeY: Solo la rama positiva, introduccir Rótulos y unidades.
  • Mostrar y Modificar cuadrícula.
  • En las celdas A1 y A2 de la Hoja de Cálculo introducir 1 y 2 respectivamente.
  • Seleccionar estas celdas y "extender" hacia abajo hasta la celda A12.
  • En la celda B1 introducir lo siguiente: AleatorioEntre[1,8]
  • En la celda C1 introducir: =(A1,B1)
  • Seleccionar B1 y C1 y "extender" hasta las celdas B12 y C12.
  • En la ventana gráfica aparecen doce puntos: C1, C2, ..., C12. En Propiedades de cada punto, en Subtítulo escribir el mes correspondiente y en Muestra Rótulo seleccionar Subtítulo.
  • Unir los puntos con la herramienta Poligonal. (Para finalizar unir con el punto inicial).
  • Observar el resultado obtenido y regenerar la construcción pulsando CRTL+R o en el menú Vista: Recálculo de Todos Los Objetos.
  • Guardar.

• Cuadro de texto: Clasificación de ángulos

  • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
  • Ocultar los ejes.
  • Utilizando la línea de entrada dibujar los puntos A=(0,0) y B=(4,0).
  • Con Semirrecta que pasa por Dos Puntos y construir la semirrecta que pase por los puntos A y B.
  • Activar la herramienta Deslizador y construir un deslizador para ángulos llamado valor con un intervalo dado desde 0° hasta 360° con un incremento de 1°. Aumentar la longitud del deslizador hasta 500 para poder variar poco a poco el ángulo.
  • Seleccionar la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado y eligir, en ese orden, los puntos B, A y el deslizador valor. Esto rota el punto B en torno al punto A el ángulo dado por el deslizador valor. Llamar a este nuevo punto C.
  • Con la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos y construir la semirrecta AC.
  • Activar la herramienta Ángulo y construir el ángulo a = ∠BAC. En las propiedades desactivar la casilla Mostrar Rótulo y en la lengüeta Estilo seleccionar un Tamaño de 50.
  • Activar la herramienta Inserta Texto e introducir en el campo de entrada "Edita", lo siguiente: "α = " + valor,esto hace que se vea el texto que aparece entre comillas y el valor del ángulo que cambiará al cambiar el valor del deslizador.
    Nota: Utilizar Símbolos, Básico para insertar α.
    
  • Activar la herramienta Inserta Texto para escribir “El ángulo se clasifica como:”.
  • Con la misma herramienta insertar siete textos distintos con las leyendas “NULO”, “AGUDO”, “RECTO”, “OBTUSO”, “LLANO”, “CÓNCAVO” y “COMPLETO”.
  • En el texto “NULO”, ir a Propiedades ..., la lengüeta Avanzado y en Condición para Exponer el Objeto escribir “ valor ?=0° " (Atención: Utilizar la Igualdad Booleana del cuadro de signos)
    
  • Con los demás textos se hace un procedimiento similar. La siguiente tabla resume la condición que se le debe escribir a cada uno.

    Texto	Condición
    AGUDO	valor > 0° ∧ valor < 90°
    RECTO	valor = 90°
    OBTUSO	valor > 90° ∧ valor < 180°
    LLANO	valor = 180°
    CÓNCAVO	valor > 180° ∧ valor < 360°
    COMPLETO	valor = 360°

  • En Propiedades del punto A y en la lengüeta Básico seleccionar la opción Objeto Fijo. Hacer lo mismo con el punto B.
  • Con Circunferencia dado su Centro y uno de sus Puntos construir una circunferencia c del mismo radio que el semicírculo del ángulo marcado. En sus Propiedades ... en la lengüeta Avanzado y en la Condición para Exponer el Objeto escriba valor = 360°
  • Cerrar la Vista Algebraica.
  • Modificar el tamaño, el color y los estilos de su construcción. Sobre todo el color del círculo c para que sea igual al del ángulo y no se note la diferencia cuando valor tenga un valor de 360°, para que se vea igual también se le debe poner sombra, observar las propiedades del ángulo y ponerle las mismas propiedades al círculo. También colocar los textos en su respectivo lugar.
  • Guardar el archivo.

• Texto estático y dinámico

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Insertar un punto A .
  • Con la herramienta Refleja Objeto en Recta obtener los puntos A' y A₁' reflejados de A respecto de los ejes de coordenadas.
  • Activar la herramienta  Texto e introducir el texto en la parte superior de la ventana gráfica.
  • Escribir el siguiente texto en la ventana que aparece: "Reflejando un punto en los ejes coordenados"
  • Las propiedades del texto se pueden modificar en la ventana de diálogo Propiedades
  • Fijar la posición del texto, así no podrá ser movido accidentalmente (Ventana de diálogo Propiedades - Básico - Objeto fijo)
  • Activar la herramienta de   Texto y pulsar con el ratón en el área gráfica y escribir: A =. (Esta será la parte estática del texto y no cambiará si el punto A se mueve).
    Para insertar la parte dinámica del se puede dar clic en el punto A en la ventana algebraica o en la ventana gráfica.
    • GeoGebra insertará el nombre del punto en el campo de texto y añadirá comillas alrededor del texto existente (estático).
    • Adicionalmente, Geogebra añade un símbolo + para conectar las partes dinámica y estática del texto.
    • Nota: La nueva sintaxis del texto es "A = " + A
  • Ligar la posición del texto al punto A, así no podrá ser movido accidentalmente (Ventana de diálogo Propiedades - Posición - Origen: A)
  • Separar ligeramente el texto del punto A.
  • Insertar texto dinámico para mostrar las coordenadas de los puntos A’ y A1’.
  • Guardar el archivo.

• Herramienta Lápiz

  Esta herramienta es interesante para las presentaciones o proyecciones interactivas.

  • Permite escribir directamente sobre la ventana gráfica.
  • Antes de añadir una anotación "a lápiz" es conveniente seleccionar el área en la que queremos escribir encuadrándola con la herramienta Elige y Mueve. Esto permite mover, girar, ampliar, reducir y borrar el trazo dibujado.
  • Para escribir, seleccionar la herramienta Lápiz y mantener pulsado el botón izquierdo del ratón.
  • Al seleccionar otra herramienta el lápiz deja de actuar.
  • Para seleccionar otro color, estilo, grosor o transparencia, ir a la Barra de Estilo, que se activa seleccionando el primer ícono que aparece a la izquierda, sobre la barra de la Vista Gráfica.
  • Para borrar una parte de lo escrito "a lápiz" basta con mantener pulsado el botón derecho del ratón y desplazarse sobre la zona a borrar.

  • Para hacer pruebas: Abrir cualquiera de los archivos anteriormente creados.
  • Seleccionar la Herramienta Lápiz y, manteniendo pulsado el botón izquierdo, ¡¡¡a dibujar...!!!.
  • Con , seleccionar una zona de la ventana gráfica.
  • Escribir con Lápiz dentro de la zona seleccionada.
  • Borrar parte de lo escrito.
  • Mover la zona seleccionada. (Geogebra la trata como una imagen, se puede comprobar accediendo al cuadro de Propiedades mediante "clic derecho")
  • Intentar borrar lo escrito antes de seleccionar una zona de la ventana.
  • Cuidado: Cerrar y !!!no guardar¡¡¡ (excepto si lo dibujado es interesante: Cambiar nombre de archivo)

• Casilla de Entrada. Herramienta Pendiente.

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Mostrar la ventana algebraica y el campo de entrada, así como los ejes de coordenadas (Menú Vista).
  • Introducir en la línea de entrada: f(x) = x^3 - 3 x^2 + x + 1
  • Dibujar un punto A en la curva. Ir a Propiedades, Estilo y aumentar su tamaño.
  • Seleccionar la herramienta Tangente y dibujar la recta tangente t a la función f en el punto A.
  • Usar la herramienta pendiente (triángulo) de la recta sobre la recta tangente.
  • Crear las raíces del polinomio f: R = Raíz[ f ] (Si hay mas de una raíz, GeoGebra creará subíndices para nombrarlos, R1, R2, R3).
  • Crear los extremos del polinomio f: E = Extremo[ f ]
  • Crear el punto de inflexión del polinomio f: I = PuntoInflexión[f]
  • Insertar un cuadro de texto con lo siguiente:
    • "Pendiente de la recta tangente en el punto A: m = " + m
  • Repetir el proceso con:
    • "Derivada de la función en A: f'(x(A)) = "+f'(x(A))
  • Insertar tres nuevos textos con los siguientes textos. (Solo aparecen cuando el punto A es el vértice de la parábola).
    • "Has encontrado un máximo de la función"
    • "Has encontrado un mínimo de la función"
    • "Aquí hay un punto de inflexión"
  • En Propiedades de estos últimos textos ir a Avanzado y en Condición para Exponer el Objeto insertar (según corresponda):
    • f'(x(A)) = 0 ∧ f''(x(A)) > 0 (otra opción es dejar un pequeño margen f'(x(A)) >-0.1∧ f'(x(A)) <0.1∧ f''(x(A)) > 0)
    • f'(x(A)) = 0 ∧ f''(x(A)) < 0 (o f'(x(A)) >-0.1∧ f'(x(A)) <0.1∧ f''(x(A)) > 0)
    • f''(x(A)) < 0.1 ∧ f''(x(A)) > -(0.1)
  • En Propiedades de los textos cambiar el tamaño y el color de la letra para que destaque cuando el texto aparezca.
  • Para cambiar la función seleccionar Casilla de Entrada y pulsar en la ventana gráfica. En Subtitulo escribir: "Cambiar función" y en Objeto Vinculado seleccionar la función f(x).
  • Para interactuar con la construcción seleccionar el punto A o cualquiera de los deslizadores y con las flechas del teclado del ordenador desplazar este punto. (Probar manteniendo pulsada la tecla Ctrl o la tecla Mayúsc).

• Herramienta Casilla de Control para Ocultar Objetos. Integral.

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Colocar el punto A en el eje X.
  • En el campo de Entrada, escribir:     A' = A + (9, 0)
  • Con crear la  Semirrecta AA', con extremo en A. Renombrarla como r.
  • Ocultar el punto A'.
  • Colocar un punto B en esa semirrecta.
  • Elegir Deslizador y crear n con valores entre 1 y 100 e incremento 1.
  • Escoger Elige-y-Mueve y arrastrar el segmento del deslizador hasta que alcance el valor 30.
  • Fijar la posición del deslizador, en el cuadro de diálogo Propiedades, para evitar su desplazamiento accidental.
  • Mover los puntos A y B hasta que alcancen las posiciones (-3, 0) y (3, 0) respectivamente.
  • En el campo de Entrada, escribir: f(x) = (2+x)(2-x)
  • En el campo de Entrada, escribir: a = x(A)   y   b = x(B), estos serán los extremos inferior y superior
  • En el campo de Entrada, escribir (con o sin ayuda de la lista desplegable de comandos):

  i = SumaInferior [f, a, b, n]

  s = SumaSuperior [f, a, b, n]

  t = SumaTrapezoidal [f, a, b, n]

  d = Integral [f, a, b]

  • Elegir  Casilla. Pulsar en la Vista Gráfica. En el cuadro de diálogo emergente escribir Rectángulos Inferiores como subtítulo y elegir el número i como objeto asociado de la lista desplegable que aparece.
  • Repetir el procedimiento con Rectángulos Superiores (s), Trapecios (t) e Integral Definida (d).
  • Escoger Elige-y-Mueve y arrastrar las casillas anteriores hasta la posición deseada y fijar las casillas en el cuadro de diálogo Propiedades.

• Creación de Herramientas. La espiral de Fibonacci

  Creando una herramienta personal que dibuja un arco de circunferencia inscrito en un cuadrado:

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Ocultar la ventana algebraica, el campo de entrada, los ejes coordenados  y la cuadrícula.
  • Con la herramienta Polígono Regular , crear un cuadrado con base AB.
  • En Propiedades del cuadrado cambiar el color a negro y en estilo Opacidad a 0 y Estilo de trazo Puntos.
  • Crear un arco de circunferencia, , centrado en A y comprendido entre B y D.
  • En Propiedades de Objeto, cambiar el color y el grosor del arco.
  • Ocultar los rótulos de los puntos.
  • Crear la herramienta Arco en Cuadrado (menú Herramientas – Creación de herramienta nueva)
  • Objetos de Salida: Cuadrado, arco de circunferencia y puntos C y D.
    Objetos de Entrada: Puntos A y B
    Nombre: Arco en Cuadrado
    Ayuda de la Herramienta: Seleccionar dos puntos
  • Guardar la herramienta cuadrado como un archivo Herramienta_ArcoEnCuadrado.ggt (Menú Herramientas – Gestión de herramientas… - Guarda como…)

  
  
  Creando la espiral:

  • Borrar todo lo anterior con Seleccionar Todo desde el menú Edita y pulsando la tecla Sup.
  • Cambiar el ajuste del rotulado a Ningún nuevo objeto (menú Opciones – Rotulado)
  • Introducir un punto A, y, lo más cerca posible de él, otro punto B. (Utilizar, si es preciso, la herramienta Zoom ).
  • Usar la herramienta Arco en Cuadrado para crear el primer trozo de la espiral.
  • Crear un segundo arco a continuación del anterior en un cuadrado del mismo tamaño que el anterior.
  • A continuación crear otro arco en un tercer cuadrado de lado doble.
  • Utilizar, si es preciso, la herramienta Zoom y continuar creando arcos según la secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • Mejorar la construcción usando la ventana de dialogo Propiedades.
    

• Otra herramienta: Curva de Kock

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Ocultar la ventana algebraica, el campo de entrada, los ejes coordenados  y la cuadrícula.
  • Insertar dos puntos A y B.
  • Crear el segmento "a" de A a B.
  • Con crear dos circunferencias de radio "a/3" centradas en A y en B respectivamente.
  • Definir los puntos C y D como la intersección de las circunferencias "c" y "d" con el segmento "a". Utilizar
  • Crear otras dos circunferencias con radio a/3 y centradas en C y D.
  • De nuevo con , definir el punto E "pinchando" en la intersección de estas últimas circunferencias.
  • Crear los segmentos AC, CE, ED, DB y CD.
  • A este último segmento cambiarle, en Propiedades de Objeto, el color a "Blanco" y el Grosor del Trazo a 5.
  • Quitar los rótulos de todos los objetos.

  Crear la herramienta MotivoDeKock desde menú Herramientas – Creación de Herramienta Nueva.

  • En Objetos de Salida seleccionar los puntos C, D, E y los segmentos b, g, h,i, j
  • Seleccionar como Objeto de Entrada: Segmento a
  • Borrar de la lista de Objetos de Entrada los puntos A y B
  • Escribir “MotivodeKoch” en nombre de la herramienta y del comando.
  • Escribir "Seleccionar segmento" en Ayuda de la Herramienta.
  • Seleccionar un icono adecuado para representar la herramienta y pulsar "Concluido".
  • En la Barra de Herramientas aparecerá el nuevo icono.
  • Guardar la herramienta:
    Menú: Herramientas -> Gestión de Herramientas-> Guarda como...

  Por último, dibujar un triángulo equilátero y aplicar sobre cada uno de sus lados la herramienta creada. Repetir, sucesivamente, el proceso para cada uno de los segmentos obtenidos.
  
  Ejercicio propuesto: Crear una nueva herramienta para dibujar el triángulo de Sierpinski.

• Acceso a Herramientas Creadas

  Al abrir un nuevo archivo de GeoGebra usando Nuevo del menú Archivo después de haber creado una herramienta, aparecerá el icono de la nueva herramienta en la Barra de Herramientas de GeoGebra.
  Sin embargo, si se abre una nueva ventana de GeoGebra utilizando Nueva Ventana del Menú Archivo, o al abrir Geogebra en una nueva sesión, la herramienta creada ya no será parte de la Barra de Herramientas.

  Para que las herramientas creadas estén disponibles en una nueva ventana hay que ir a Guarda Configuración del Menú Opciones. Desde ese momento, la nueva herramienta será una más del repertorio usual en la Barra de las de GeoGebra.

  Nota: Se pueden eliminar las herramientas nuevas de la Barra de Herramientas después de abrirlas con la opción "Gestión de Herramientas…" desde el Menú de Herramientas. Basta con seleccionarlas de la Lista de Herramientas de la ventana de diálogo emergente y pulsando sobre el botón Borra. Es importante guardar cualquier herramienta que se desee conservar, antes de borrarla.

• Importación de Herramientas Creadas

  Después de guardar la herramienta creada (como archivo .ggt), es posible importarla a una nueva ventana de GeoGebra en cualquier momento:

  • Simplemente seleccionando Abre del Menú Archivo y eligiendo el que corresponda a la herramienta.
  • Se puede recuperar un archivo GGT arrastrándolo desde su posición en el directorio de archivos y depositándolo en la la ventana de GeoGebra.

  Nota: Abrir un archivo GeoGebra de herramientas (GGT) no afecta la construcción en marcha. Sólo hace que tal herramienta pase a formar parte de la Barra de Herramientas de GeoGebra.

• Exportar como ...

  La ventana gráfica se puede exportar como:

  • Imagen con formatos png, eps, svg
  • Archivo PDF.
  • Página web (archivo HTML)
  • Código PSTricks o PGF/TikZ para insertar la ventana gráfica en documentos creados con LaTex.

• Crear un GIF

  Para crear un archivo tipo GIF hay que crear un objeto ligado a un deslizador y después con el botón derecho del ratón en ExportAnimatedGif crear el archivo GIF.
  
  

• Un examen

  Vamos a utilizar Geogebra para insertar distintas figuras en un examen.

  Abrir el archivo "Examen.pdf" para ver el resultado final y con Word o con OpenOffice.Write, el archivo "Examen.doc" al que le faltan las figuras. Para cada figura:

  • Abrir un nuevo archivo de Geogebra.
  • Dibujar la figura.
  • Modificar el color, el grosor del trazo y otras propiedades de los objetos representados.
  • Modificar el aspecto de la zona gráfica. (Ejes, cuadricula, tamaño, etc.)
  • Para copiar la figura, seleccionar la región que queremos copiar utilizando la herramienta y, dos opciones:
    
    • En Archivo de la barra del menú ir a Exporta... Copia Vista Gráfica al Portapapeles. (Se consigue lo mismo con Ctrl+Mayúsculas+C)
    • En Edita, ir a "Copia Vista Gráfica al Portapapeles". Cuidado, con "Copia" no funciona.
  • Ir al archivo de texto y pegar la imagen en el sitio deseado.
  • Modificar el formato de la imagen para poder colocarla en el lugar deseado.

• Comando Secuencia: Papel logarítmico

  El comando Secuencia es uno de los más complicados de dominar pero permite ahorrar tiempo y trabajo cuando necesitamos definir o representar varios objetos repetitivos.
  En el siguiente ejemplo se utiliza este comando para dibujar las rectas de referencia en una escala logarítmica.
  Utilizaremos también el comando Recta y la función logaritmo neperiano (Geogebra también implementa el logaritmo decimal y el logaritmo en base 2)

  • Abrir un nuevo archivo en GeoGebra.
  • Pulsar con el botón derecho en la ventana gráfica y seleccionar Vista Gráfica..., en la lengüeta Ejes quitar Número y Graduaciones para Eje X.
  • En la línea de Entrada definir la base del logaritmo y los límites del papel de la siguiente forma:
    Base=8
    MinimoX=-5
    MaximoX=5
  • Para las rectas referencia necesitamos la dirección de otra recta que en este caso será r:x=0
  • Utilizar el comando secuencia de la siguiente forma:
    RectasVerticales = Secuencia[Secuencia[Recta[(ln(k) / ln(Base) + j, 0), r], k, 1, Base - 1], j, MinimoX, MaximoX]
    (Nota: Se puede copiar este texto con Crtl+C y pegar en la línea de Entrada con Crtl+V )
  • Cambiar el color de RectasVerticales.
  • Guardar el archivo.

• Imagen fija. La Plaza Mayor de Salamanca

  Utilizando una foto de la Plaza Mayor vamos a estimar las longitudes de los lados y el área de la plaza suponiendo que el coche rojo que aparece en la Plaza del Mercado mide 4 metros. (Un dato para comprobar la exactitud de nuestros cálculos: El pabellón Real mide 80,60 metros)

  • Abrir un archivo nuevo.
  • Definir tres puntos P, Q y R, a los que estará ligada la imagen.
  • Insertar la imagen deseada
  • Seleccionar la imagen e ir a Posición introduciendo
    • Esquina 1 = P
    • Esquina 2 = Q
    • Probar que, al hacer Esquina 4 = R, la imagen se distorsiona
  • Redefinir los puntos P y Q como: P=Esquina[1] y Q=Esquina[2]
    
    Midiendo la plaza:
    

  • Utilizando la herramienta Polígono dibujar el cuadrilátero de la plaza.
  • Con la herramienta Distancia o Longitud medir el coche rojo o algún objeto cuyas dimensiones conozcamos. Renombrar este número como "coche"
  • Con la herramienta Área obtener el área del cuadrilátero.
  • Insertar un cuadro de texto que muestre el área "real" de la plaza. Por ejemplo escribir (comillas incluidas): "La superficie de la plaza es " + (polígono1 (4 / coche)²) + "metros cuadrados". En Propiedades cambiar el color y el tamaño.
  • Insertar otro cuadro de texto que muestre la longitud "real" del Pabellón Real.

• Imágenes ligadas a una curva

  • Abrir un archivo nuevo.
  • Crear un Deslizador, a, con intervalo de 0 a 12 e incremento 0.01.
  • Desde la Línea de Entrada definir la función f como f(x) = (x / 3) sin(x).
  • Definir el punto A como A=(a,f(a))
  • En la Línea de Entrada escribir g(x) = f'(a) (x - a) + f(a) para definir la recta tangente a f en el punto (a,f(a)). En lugar de esto se puede utilizar la herramienta Tangentes a la función f en el punto A
  • Con la herramienta Vector entre Dos Puntos dibujar el vector u con extremo y origen sobre la recta g y desde la Línea de Entrada crear un vector unitario con la dirección de u: v=u / (x(u)² + y(u)²)^0.5.
    Tambien se puede definir un vector unitario con la dirección de la recta desde la línea de entrada con VectorUnitario[g]
  • Crear los puntos D=A- 0.2 v ; E=A + 0.2 v .
  • Insertar las dos imágenes deseadas. Por ejemplo: Una y dos
  • En propiedades de cada una de las imágenes ir a Posición y en Esquina 1 seleccionar el punto D y en Esquina 2 el punto E.
  • En propiedades de la Imagen1 ir a Avanzado y en Condición para exponer el objeto teclear f ' (a) > 0.
    
  • Hacer lo mismo para Imagen2 escribiendo f ' (a)<0.
  • Ir a las propiedades del deslizador y seleccionar animación automática.
  • Guardar el archivo.

  Propuesta: Modificar la velocidad del deslizador para que esté relacionada con la pendiente

• Simetrías en una imagen. Imagen de fondo

  
  

  • Abrir un nuevo archivo de GeoGebra.
  • Ocultar la ventana algebraica, el campo de entrada y los ejes de coordenadas.
  • Crear un nuevo punto A .
  • Exponer el rotulo del punto A.
  • Con trazar la recta de reflexión a través de dos puntos.
  • Reflejar el punto A en la recta de reflexión para obtener la imagen A’.
  • Trazar un segmento de recta entre el punto A y su imagen A’.
  • En Propiedades de Objeto seleccionar Activa Rastro para los puntos A y A'.
  • Mover el punto A para dibujar una figura dinámica.
  • Pulsar Ctrl+F para borrar el rastro.
  • Insertar la imagen cuya simetría se quiere estudiar. Por ejemplo una rueda o una flor
  • Poner la imagen como imagen de fondo y reducir el brillo de la imagen en Propiedades, Estilo, sombreado.
  • Mover el punto A por el contorno de la figura y comprobar el rastro que deja A'.

  Importante:

  • Al hacer zoom en la ventana gráfica la imagen se amplia o se reduce ocupando toda la ventana gráfica. Esto no ocurre con las figuras geométricas que dibujemos sobre la imagen.
  • Al fijar una imagen como imagen de fondo se imposibilita esta opción para otras imágenes pero se pueden insertar nuevas imágenes.

• Color dinámico: Diagramas de Voronoi

  
  

  Los diagramas de Voronoi son una construcción geométrica que permite construir una partición del plano euclídeo. También fueron estudiados por el matemático Gustav Lejeune Dirichlet de donde toma el nombre de teselación de Dirichlet. Se aplican en estudios en los que hay que determinar áreas de influencia (centros hospitalarios, estaciones de bomberos, bocas de metro, centros comerciales, control del tráfico aéreo, telefonía móvil, análisis de poblaciones de especies vegetales...)

  
  
  
  

  • Abrir un archivo nuevo.
  • Con , insertar varios puntos, por ejemplo : A, B, C, D y E.
  • Crear una lista de puntos desde la Linea de Entrada con ListadePuntos = {A, B, C, D, E}
  • En la línea de entrada definir el punto F como F=Esquina[1]
  • De igual forma definir G como G=Esquina[2]
  • Definir en la línea de entrada ancho=x(G)-x(F)
  • Crear un deslizador con intervalo desde 0 hasta ancho, de incremento 0.01, animación automática y velocidad 0.1. Renombrarlo como barrido
  • Activar la vista de hoja de cálculo. Menú, Vista, Vista de Hoja de Cálculo.
  • En la columna 1 crear una lista desde 1 hasta 400. Para ello basta con introducir 1 en la primera celda, 2 en la segunda y extender hasta la 400.
  • Definir en la celda B1 crear el punto F+(barrido,A1/30)
  • En la celda C1 escribir: Secuencia[Distancia[B1, Elemento[ListadePuntos, i]], i, 1, Longitud[ListadePuntos]]
  • En la celda D1 escribir: IndiceDe[Mínimo[C1], C1]
  • En propiedades del punto B1 cambiar:
    • Básico: Activar rastro y Desactivar Muestra rótulo
    • Estilo: Tamaño del punto 1
    • Avanzado: Color Rojo = 0.5 + cos(D1) sin(D1); Color Verde = cos(D1); Color Azul = cos(D1)
  • En la hoja de cálculo seleccionar B1, C1 y D1 y extender hasta las celdas 400.
  • Ocultar la vista de Hoja de Cálculo.
  • En la línea de entrada escribir: Voronoi[ListadePuntos]

  
  

• Movimiento circular-lineal: Pistón

  • Una circunferencia centrada en el (0,0) y radio 2. En Propiedades seleccionar Estilo trazo: Puntos
  • Un deslizador , α, en modo ángulo.
  • El punto P=(0,2)
  • Rotar este punto respecto del centro de la circunferencia un ángulo α.
  • Ocultar el punto P.
  • Una circunferencia centrada en el punto, P', (rotado de P) y de radio 6.
  • Señalar el punto intersección, Q, de esta circunferencia con el eje OY.
  • Ocultar la circunferencia.
  • Con , Segmento que une P' con el punto Q y segmento que une A con P'.
  • Definir: lado1 = Segmento[(1, 4), (1, 10)]. Cambiar su color y grosor del trazo.
  • Definir: lado2 = Segmento[(-1, 4), (-1, 10)] y con copiar el estilo visual de lado1.
  • Con dibujar la recta perpendicular a lado1 que pasa por Q.
  • Con , crear los puntos R y S, intersección de la recta anterior con lado1 y lado2. Ocultar la recta.
  • Definir los puntos R1 y S1 como: R1=R+(0,1) y S1=S+(0,1)
  • Un rectángulo por los puntos R, S, S1 y R1. Ocultar los vértices.
  • Definir Q1 = (α, y(Q)). Cambiar su color, grosor de trazo y activar rastro.
  • Definir la función f(x)=2cos(x)+6. Cambiar su color y estilo de trazo.
  • Con α=45º utilizar la herramienta de comprobación verificar que Q1 no está sobre la gráfica de f.
  • Animar el deslizador α (seleccionando en Repite: Incrementando).

• Movimiento epicicloidal-lineal.

  • Una circunferencia centrada en el (0,0) y radio 2. En Propiedades seleccionar Estilo trazo: Puntos
  • Un deslizador , α, en modo ángulo.
  • El punto P=(0,1)
  • Rotar este punto respecto del centro de la circunferencia un ángulo α.
  • Ocultar el punto P.
  • Circunferencia centrada en P' y de radio 1.
  • Señalar el punto intersección, B, de las dos circunferencias.
  • De nuevo con , rotar este punto, B, respecto de P' un ángulo 2α.
  • En la Línea de Entrada: Radios= Secuencia[Segmento[P', Rota[B', 36° i, P']], i, 1, 10]
  • Circunferencia centrada en B' (rotado de B) y radio 6.
  • Con , señalar el punto intersección de esa circunferencia con el eje OY.
  • Con , Segmento que une B' con el punto C anterior.
  • Definir: lado1 = Segmento[(1, 4), (1, 10)]. Cambiar su color y grosor del trazo.
  • Definir: lado2 = Segmento[(-1, 4), (-1, 10)] y con copiar el estilo visual de lado1.
  • Con dibujar la recta perpendicular a lado1 que pasa por C.
  • Con , crear los puntos G y H, intersección de la recta anterior con lado1 y lado2. Ocultar la recta.
  • Definir los puntos I y J como: I=G+(0,1) y J=H+(0,1)
  • Un rectángulo por los puntos G, H, J y I. Ocultar los vértices.
  • Definir F = (α, y(C)). Cambiar su color, grosor de trazo y activar rastro.
  • Definir la función ff(x)=2cos(x)+6. Cambiar su color y estilo de trazo.
  • Con α=45º utilizar la herramienta de comprobación verificar que C está sobre la gráfica de ff.
  • Animar el deslizador α (seleccionando en Repite: Incrementando).
  • Guardar el archivo.

• Ejercicio de comprobación: Círculo de los 9 puntos

  Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, o círculo medioinscrito. Se caracteriza por pasar por los tres puntos medios de los lados, los tres cortes de las alturas con los lados y los tres puntos de Euler que son los puntos medios de las alturas entre el ortocentro y el vértice. Comprobar que: Es tangente a la circunferencia inscrita y a las circunferencias ex-inscritas Su centro está en la recta de Euler

  
  
  
  

• Ejercicio de investigación. Triángulo equilátero con los vértices en tres rectas

   

  Dadas dos rectas paralelas, r y s, una recta secante, t, y un segmento d, construir un triángulo equilátero con lados igual a d y cuyos vértices estén sobre las rectas r, s y t .

   

• Movimientos en el plano. 12 ejercicios (con una pequeña pista)

  Ejercicio 1. Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio sea P.
  

  La recta r’ simétrica de r respecto a P, corta a S en un punto A que es uno de los vértices buscados.

  
  Ejercicio 2. Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tres medianas.
  

  Si M es el punto medio del lado AB, y G y G’ son los baricentros de los triángulos ABC y ABC’, donde C’ es el simétrico de C respecto de M, el cuadrilátero AGBG’ tiene sus cuatro lados conocidos e iguales a los 2/3 de las medianas ma y mb que parten respectivamente de A y B y la diagonal GG’ igual a los 2/3 de la mediana mc que parte de C. 

  
  
  Ejercicio 3. Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados, respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí.
  

  Elegido un punto A de r como vértice del triángulo, se aplica a la recta s un giro de centro A y ángulo 60°. La recta s’ obtenida corta a t  en el punto C que será otro vértice.

  
  
  Ejercicio 4. Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundo suponiendo que estas rectas no pasan por O.
  

  Aplicar a la recta r un giro de centro O y ángulo 90°. La recta r’ obtenida corta a s en el vértice B

  
  
  Ejercicio 5. Dados en un plano dos puntos M y N y dos rectas r y r’, construir un paralelogramo MNPQ de forma que los vértices P y Q estén cada uno en una de las rectas dadas.
  

  Aplicar a la recta r la traslación definida por el vector MN. Su transformada corta a r’ en un punto P que será otro de los vértices del paralelogramo

  
  
  Ejercicio 6. Dadas en el plano dos circunferencias de centros O y O’ respectivamente,  encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.
  

  Aplicar a una de las circunferencias una traslación definida por el vector de módulo, dirección y sentido iguales a los del vector dado. La circunferencia obtenida corta a la de centro O’ en dos puntos (en general) que serán los extremos B de las posibles soluciones.

  
  
  Ejercicio 7. Dados dos puntos A y B a un mismo lado de una recta dada r, hallar el punto C de r de forma que la suma de los segmentos AC y CB sea mínima.
  

  Hallando el simétrico B’ de B respecto de r, la recta AB’ corta a r en el punto C buscado

  
  
  Ejercicio 8. Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus lados a y b y el ángulo α; igual a la diferencia entre los ángulos A y B opuestos a los lados dados.
  

  Suponiendo el problema resuelto, basta hallar el simétrico del triángulo dado respecto de la recta mediatriz del lado AB. Si el simétrico de C es C’, el trapecio CABC’ se puede construir a partir del triángulo CAC’ ya que AC = b, AC’ = a y el ángulo CAC’ es igual a α.

  
  
  Ejercicio 9. Dado un triángulo ABC dibujar un cuadrado de vértices MNPQ de forma que los vértices M y N estén sobre el lado BC, el vértice P sobre el lado AC y el vértice Q sobre el lado AB.
  

  Construir, en el exterior del triángulo, el cuadrado de lado BRSC. La recta AR corta a BC en el vértice M  del cuadrado y la homotecia de centro A y razón k = AM : AR transforma el cuadrado en el buscado

  
  
  Ejercicio 10. Construir un triángulo conociendo el ángulo A el B y la longitud, ba, de la bisectriz del ángulo A.
  

  Construir un ángulo, de vértice A y cuyos lados son las rectas r y s. Por un punto cualquiera B’ de r, trazar una recta t que corta a r bajo el ángulo B dado. Esta recta corta a s en C’. Si la bisectriz del ángulo A corta a B’C’ en el punto D y el segmento AD tiene una longitud b’a la homotecia de centro A y razón k = ba  : b’a  transforma los puntos B’ y C’ en los vértices B y C del triángulo buscado.

  
  Ejercicio 11. Calcular el área del cuadrado que tiene tres vértices consecutivos a una distancia de 5, 4 y 3 m de un punto P.
  
  
  Ejercicio 12. En un cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se trazan los arcos BD y CA con centro en A y en B respectivamente, y radio a. Los dos arcos se cortan en M. Hallar el radio del círculo inscrito en el triángulo curvilíneo AMB. .
  

• La recta

  • Ejercicio 1. Dibujar, punto a punto, una recta que pasa por el punto A(-2,-3) y tiene por vector director a u(1,2).
    
    
  • Ejercicio 2. Dada la recta r : -x + 2 y = 8 y el punto A(–3, –1).
    
    • a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a r.
      
    • b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a r.
      
  • Ejercicio 3. Resolver gráficamente el sistema formado por las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-1,2) y B(3,-2) y la recta que es perpendicular a r: y=-x+3 y pasa por el origen.

• Tres ejercicios para hacer en papel y comprobar con GeoGebra

  • Ejercicio 1. Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas:
    r : 3x + 7 y - 4 = 0 y s : ( y - 3) = -2(x - 5)
    
    
  • Ejercicio 2. Calcular el área del paralelogramo determinado por las siguientes rectas:

    r: x - 3 y + 5=0; s: 2 x - 6 y + 7 = 0; t: x+ y + 1 = 0; u: 2 x + 2 y + 3 =0

  • Ejercicio 3. Los puntos A(–2, 4), B(3, 1) y C(2, –3) forman un triángulo.
    
    • a) Halla las ecuaciones de las rectas en las que se encuentran sus lados.
      
    • b) Halla el ortocentro.
      

• Elipse e hipérbola

  • Ejercicio 1. Determinar gráficamente los focos, los vértices, el semieje real, la distancia focal y el semieje imaginario de la hipérbola de ecuación:

    x² - y² - 2x - 4y + 2x y = 1

    Utilizar los comandos "Ejes[ ]", "Centro[ ]", "Vértice[ ]", y "Asíntota[ ]".

  • Ejercicio 2. Los focos de una elipse son F₁(-1,1) y F₂(5,3) y su semieje mayor mide 4 unidades. Determinar el resto de los elementos de la elipse y su ecuación.
    

    Dibujar los focos, el eje mayor, el centro, la perpendicular al eje mayor que pasa por el centro, la circunferencia menor, el punto de intersección con el eje secundario. La cónica queda definida por los focos y el punto anterior.

  • Ejercicio 3. Los vértices de una hipérbola son V ₁(-1,2) y F₂(4,0) y la distancia focal es igual a 8. Determinar el resto de los elementos de la hipérbola y su ecuación.

    Dibujar los vértices, el eje real, el centro, la circunferencia focal, las rectas perpendiculares al eje real por los vértices, la intersección de estas rectas y la circunferencia, las asíntotas de la hipérbola, las rectas paralelas a las asíntotas que pasan por un vértice. La cónica queda definida por los focos y el punto intersección de dos rectas paralelas a cada una de las asíntotas a distancias 1/2 y 2 respectivamente.

• Vectores y números complejos

  • Ejercicio 1. Definir dos vectores u y v desde la línea de entrada. Probar las distintas operaciones (suma, resta, multiplicación por un número, multiplicación de los dos vectores, división, potencias, raíces...) y observar los resultados obtenidos.
    En Propiedades de cada vector ir a Algebra, Coordenadas y seleccionar Número complejo. Repetir las operaciones anteriores.
    
    
  • Ejercicio 2. Representar gráficamente las raíces n-ésimas de un número complejo.
    
    Un número complejo se puede representar por un vector o por un punto. En Geogebra hay que ir a Propiedades del punto o del vector, Algebra, Coordenadas, Número Complejo
    Las coordenada de un punto también pueden expresarse en forma polar como A=(radio;ángulo)
    

• Una función y su derivada

  Representar gráficamente la función seno, su derivada y su tangente en un punto.

  La función seno se debe escribir como   f(x) = sin(x). Se puede utilizar la herramienta "Tangentes" y el comando "Derivada"

• Traslación y dilatación de funciones

  • Ejercicio 1. Crear un applet que permita ver como varía una función cuando se suma una constante a la función, cuando se suma una constante a la variable independiente o cuando se multiplica por un número la función o la variable independiente.
    
    
  • Ejercicio 2. ¿Qué trayectoria describe el vértice de la parábola al variar b? Crear el vértice Extremo[f], activar su Rastro y desplazar b. Comprobar que la trayectoria del vértice sigue la función h(x)= -a x² + c. ¿Por qué?
    
    
  • Ejercicio 3. ¿Qué sucede con las funciones afines definidas como f(x) = a x + a? ¿Y con las cuadráticas definidas como f(x) = a x² + a x + a? Probar a activar el rastro de cada una de estas funciones antes de mover el deslizador "a".
    
    
  • Ejercicio 4. ¿Cómo es la familia de funciones f(x) = (25 - x^2 )^(1/n)? (n natural). ¿Convergen hacia alguna función concreta al crecer n?

• Función definida a trozos o trozos de función

  Representar la función .

  Se puede utilizar el comando Función[expresión, inf, max] para cada intervalo o definir la función con la función condicional Si[condición, expresión1, expresión2]
  
  Puedes echar un vistazo a esto.
  

  Si los trozos son muchos, el procedimiento anterior ocasiona la aparición de condicionales anidados (comandos Si dentro de otros comandos Si, etc.). En tal caso, puede ser conveniente usar una función auxiliar para ayudarnos a separar los trozos, como se muestra en el siguiente ejemplo correspondiente a una función f(x) que toma diferentes expresiones f1(x), f2(x), f3(x) y f4(x) en los intervalos [0,1), [1,2), [2,4) y [4,5], respectivamente:

  z = Si[x < 0 || x ≥ 1, 0, 1]

  f = Función[z(x) f_1(x) + z(x - 1) f_2(x) + z((x - 2) / 2) f_3(x) + z(x - 4) f_4(x), 0, 5]

• Lo básico

  Al crear una página web con Geogebra se crean diferentes archivos que deben estar juntos para mantener la funcionalidad de la hoja de trabajo dinámica. Al subir la página web al servidor o instalarla en otros ordenadores es necesario copiar los archivos .jar además de los correspondientes archivos .ggb y .html. (Si se trabaja con internet hay otra opción).
  Es aconsejable crear una nueva carpeta específica para guardar las hojas de trabajo dinámicas. Se pueden guardar diferentes hojas de trabajo dinámicas en la misma carpeta. Los archivos con extensión .jar se crean una sola vez en la carpeta. .
  
  Después crear un archivo de Geogebra y de ajustar el tamaño de la ventana, se puede exportar la figura como una hoja de trabajo dinámica usando el menú Archivo.

  • Exporta – Hoja Dinámica como página Web (o con las teclas Ctrl – Shift – W).
  • Aparece una ventana parecida a la siguiente:

  
  
  A continuación:

  • Rellenar los campos de texto en la ventana que aparece (título, autoría y fecha)
  • Escribir una breve explicación de la figura dinámica en el campo de texto: Texto previo a la construcción.
  • Escribir las instrucciones y tareas relacionadas con la figura en el campo de texto: Texto debajo de la construcción.
  • Para finalizar, sin modificar las opciones básicas, ir a Exporta y guardar la hoja de trabajo dinámica.

  
  

• Modificando las opciones básicas

  
  

  • Con Habilita clic derecho, zoom y edición por teclado seleccionado, se permite tener acceso a las características del menú contextual (p. ej. Muestra / Oculta objeto, activa/desactiva rastro, etc.)
  • Con Expone el icono de Reinicio de la Construcción se muestra en la esquina superior derecha del applet interactivo un icono de reinicio, permitiendo regresar la figura interactiva inicial.
  • Con Expone la barra de menú, la barra de menú se muestra dentro del applet interactivo.
  • Con Expone la barra de herramientas, la barra de herramientas se muestra dentro del applet interactivo y permite usar las herramientas geométricas.
  • Con Expone la barra de entrada: El campo de entrada de comandos se muestra en la parte inferior del applet interactivo permitiendo a sus estudiantes usar entradas de expresiones algebraicas y comandos para sus exploraciones.
  • Con Expone ayuda de la barra de herramientas, en combinación de la barra de herramientas, también puede mostrar la ayuda de la barra de herramientas dentro del applet interactivo lo que permite operar con las diferentes herramientas.
  • Con Habilita Guardar, Imprimir y Deshacer, permite guardar, imprimir y deshacer.
  • Con Admite Reescalado, el applet intentará re-escalar la construcción según el zoom del explorador y cambiar el tamaño del applet.
  • Con Ancho y altura del applet interactivo: Puede modificar el ancho y altura del applet interactivo. (No es aconsejable modificar el tamaño desde aquí).
  • Incluyendo archivos *.jar: Crea no sólo el archivo html, sino también los *.jar correspondientes. (Esta opción es necesaria cuando no se dispone de conexión a Geogebra.org).
    • Atención: Si la casilla de verificación de Archivos ggb Archivo & jar Archivos NO está seleccionada no se crean los archivos con extensión ggb y jar. Esto imposibilita posteriores modificaciones del archivo de geogebra. Tiene una ventaja, no es necesario preocuparse de esto archivos cuando se traslada el html generado puesto que toda la información va en este archivo.
    • Se puede elegir si el archivo a exportar será html, MediaWiki, GoogleGadget o Moodle.
      
      

• Subir archivos a GeogebraTube

  Cuenta propia en Geogebra

  GeoGebra Upload Manager ( www.geogebra.org/en/upload) pone a disposición de los usuarios un espacio para "colgar" sus páginas web.
  Para ello hay que:

  • Ir al Administrador de Subida de GeoGebra www.geogebra.org/en/upload
  • Ir a Login (esquina superior derecha de la ventana del explorador )
  • Registrarse en Register con un nombre de usuario, una contraseña y la dirección de correo electrónico (username, password, and your email address)

  Nota: Recibirá un correo electrónico que contiene un código de activación para la cuenta.

  • Revisar el correo electrónico, copiar el código de activación e ir al enlace interactivo que aparece en el correo para ingresar a la página Web de activación.
  • En la página Web de activación introducir Usuario, pegar el código de activación en el campo de texto correspondiente y activar la cuenta en Activate account.
  • Ir al Administrador de subida de GeoGebra.
  • Crear una carpeta de subida personal en Crear Nuevo directorio y en Hacer Directorio. (Posteriormente se pueden crear nuevas carpetas dentro de su carpeta personal para organizar sus archivos subidos).
  • Abrir la carpeta creada.
  • Ir hasta el final de ésta página hasta que aparezca el encabezado Subir archivo.
  • En Examinar buscar y abrir el archivo que desea subir.
  • Ingresar la Descripción del Archivo en el campo de texto correspondiente.
  • Por último Subir Archivo.

  Nota: Para trabajar con una hoja de trabajo dinámica, hay que subir el archivo con extensión .ggb correspondiente así como el archivo con extensión .html. NO es necesario subir los archivos .jar!

  • Buscar el archivo que acaba de subir a su carpeta de subida personal. Con clic derecho en el nombre del archivo seleccionar Copiar la ruta de enlace del menú contextual.
  • Pegar la dirección en un documento de texto o usarlo para crear un enlace en su página Web personal.

• Unos consejos

  Evitar la navegación

  La hoja de trabajo debe ajustarse a una pantalla. Navegar entre las instrucciones o tareas y la figura interactiva es poco apropiado para el aprendizaje. El tamaño usual de una pantalla hoy en día es de 1024x768 ó 1280x1024 píxeles, lo que delimita el tamaño de la hoja de trabajo dinámica. Utilizando un editor de HTML se puede usar tablas para acomodar texto, imágenes y figuras interactivas de manera que se ajusten a la pantalla. Si esto no es posible, entonces conviene dividir la hoja de trabajo dinámica en diferentes páginas.

  Explicación Corta

  Al inicio de una hoja de trabajo dinámica, dar una explicación de su contenido con un breve texto (no más de uno o dos enunciados).

  Pocas Tareas

  Añadir algunas preguntas o tareas para asegurarse de que los alumnos utilizan la hojas de trabajo activamente
  Colocar estas tareas cerca del applet interactivo (p. ej. Directamente debajo de la figura o junto a ella)
  No utilizar más de dos o tres preguntas o tareas para evitar la navegación.

  Evitar Distracciones

  En las hojas de trabajo dinámicas solamente deben aparecer los objetos que son relevantes para los objetivos.
  No utilizar fondos o figuras decorativas de manera innecesaria.

  Interactividad

  Permitir tanta interactividad como sea posible en su figura dinámica. Como regla empírica general, todos los objetos visibles deben ser movibles o manejables de alguna manera. La figura dinámica debe proveer plena libertad de explorar las relaciones de los objetos matemáticos y descubrir conceptos matemáticos.

  Facilidad de Uso

  Tratar de hacer su figura dinámica tan fácil de usar como sea posible. Si un objeto puede ser movido  o cambiado, destacarlo de alguna manera, por ejemplo los puntos a mover pueden ser rojos o más grandes. Fijar los objetos que no deben ser cambiados (p. ej. Texto, deslizadores, funciones, etc.) así no serán movidos accidentalmente.

  El tamaño importa

  La figura dinámica debe ser lo suficientemente grande para permitir las manipulaciones previstas, pero lo suficientemente pequeña para ajustarse a una pantalla y aún dejar lugar suficiente para las explicaciones y preguntas alrededor de la página Web.

  Use texto dinámico

  El texto dinámico, como la longitud de un segmento que cambia, debe ser colocado cerca del objeto correspondiente en su applet.

  Evitar el texto estático

  Mucho texto puede ser recargar fácilmente su applet. En lugar de esto, colocar texto estático como explicaciones o preguntas en la página Web que incluye la figura dinámica.

  A primera vista

  Cuando una hoja de trabajo dinámica se abre, los rótulos y la información importante deben ser claramente visibles. Por ejemplo, el rótulo de un punto no debe ser cruzado por una línea.

  Preguntas específicas

  Evitar preguntas generales como ‘¿Por qué es siempre cierto para X?’ y, dejar claro lo que hay que hacer, p. ej. ‘¿Qué le sucede a  cuando mueves Y?’. Es recomendable que los alumnos tomen notas mientras trabajan con la hoja de trabajo dinámica por lo que es conveniente indicarlo de forma explícita en la hoja de trabajo.

  Referirse al applet

  Con el texto se debe apoyar el uso del applet interactivo. Por ejemplo, colorear ciertas palabras clave para hacer coincidir el estilo de formato del objeto al que se refiere. Esto hace más fácil de leer el texto y ayuda a sus estudiantes la lectura y los ayuda a encontrar las representaciones correspondientes al mismo objeto.

Vamos a crear una página web que permita comprobar el teorema fundamental del calculo integral para cualquier función.

• Creando el archivo

  • Abrir un nuevo archivo en el que sean visibles los ejes, la ventana algebraica y la línea de entrada.
  • Escribir en la línea de entrada: f(x)=x^2+x+1
  • Definir los puntos A y B sobre el eje X utilizando: A=Punto[EjeX] y B=Punto[EjeX]
  • Con la herramienta Puntero, mover los puntos A y B para que no estén en el origen de coordenadas.
  • Definir la función integral F como F(x)=Integral[f]
  • En la línea de entrada escribir: Área = Integral[f, x(A), x(B)]
  • Definir el vector u = Vector[A, B]
  • Definir, sobre la integral, los puntos J y K como: J = (x(A), F(x(A))) y K = (x(B), F(x(B)))
  • Crear un deslizador, b, con valor de 0 a 1, incremento 0,01, velocidad 3 y Repite:"Incrementando(Una vez)"
  • Definir los segmentos: m=Segmento[B,K] y n=Segmento[A,J]
  • Escribir en la línea de entrada: A' = Traslada[A, Vector[b u]]
  • Escribir en la línea de entrada: J' = Traslada[J, Vector[b u]]
  • Escribir en la línea de entrada: n' = Traslada[n, Vector[b u]]. Cambiarle el estilo.
  • Definir el segmento a = Segmento[K, J'] y en Propiedades de Objeto, Opciones Avanzadas, en Condiciones para exponer objeto escribir: b=1
  • Aligerar la construcción ocultando puntos no significativos y rótulos, cambiando el color de diversos objetos....
  • Introducir los seis textos siguientes (cambiar el tamaño y el color):

    • Regla de Barrow
    • \int_{a}^{b}{ f(x) dx=}F(B)-F(A), con Fórmula LaTeX seleccionada. Se puede usar
    • "Área bajo la curva= "+Área
    • "F(b)-F(a) = "+F(x(B)) - F(x(A))
    • "F("+x(A)+") ="+F(x(A)), fijar su posición en el punto J
    • "F("+x(B)+") ="+F(x(B)), fijar su posición en el punto K

  • Insertar un botón con y en Guión(Script) GeoGebra escribir: b=0; IniciaAnimación[b];
  • Insertar una Casilla de Entrada, , con Subtitulo: "Cambiar función" y Objeto Vinculado: f(x)
  • Guardar el archivo.

  Área con funciones (positiva)

  El comando Integral de GeoGebra calcula la integral definida de una función.
  Si la función cambia de signo, suma área negativa y área positiva.

  Este applet trata de evitar eso.
  

  • Abrir un archivo nuevo.
    
  • Con , crear un punto, A, sobre el eje OX.
  • Desde la línea de entrada, definir el punto FF como FF=(0,5)
    
  • Definir la semirrecta que empieza en A y pasa por FF. (Cambiarle el nombre).
  • Crear un punto, B, sobre esta semirrecta.
    Lo anterior es para que el punto B siempre esté a la derecha de A
  • Ocultar el punto FF y la semirrecta.
  • Definir a como a=x(A) y b como b=x(B)
  • Crear la función f: f(x)=sin(x)
  • Insertar una casilla de entrada para cambiar la función f(x)
    
  • Crear una lista de puntos que contenga el punto inicial, los puntos de corte con el eje OX y el punto final. Utilizar:
    CortesConOX = EliminaIndefinidos[{(a, 0), Raíces[f, a, b], (b, 0)}]
    Utilizar EliminaIndefinidos es para evitar errores cuando la función no corta al eje de abscisas
  • Crear los distintos intervalos de integración, calcular la integral definida en estos intervalos y coger su valor absoluto. Utilizar:
    IntervalosDeIntegración = Secuencia[abs(Integral[f, x(Elemento[CortesConOX, i]), x(Elemento[CortesConOX, i + 1])]), i, 1, Longitud[CortesConOX] - 1]
    
  • En la línea de entrada escribir: Área = Suma[IntervalosDeIntegración]
  • Crear un texto para mostrar el área.

• Exportar a html

  ANTES DE EXPORTAR: Crear una carpeta nueva para guardar los archivos generados. (Se crean varios archivos que deben estar "juntitos" para que la cosa funcione).

  Para exportar un archivo Geogebra a un archivo html hay que ir a "Archivo, Exportación, Hoja de trabajo dinámico como Página Web (html)" o presionar Ctrl + Mayúsculas + W.
  
  
  
  Esto carga una plantilla que permite introducir el texto antes y después del applet de Geogebra.
  El texto anterior a la construcción debe explicar lo que hace el applet y como interactuar con él.

  
  

  Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces la integral de f(x) entre a y b es igual a F(b)-F(a)
  
  El applet permite mover los puntos azules, comprobar el teorema fundamental y cambiar la función.

  En el texto posterior se pueden plantear preguntas relacionadas con lo representado o proponer nuevos ejercicios, por ejemplo:
  

  ¿Cuál es la integral definida de f(x) entre -1 y 2?
  Cambiar la función por una función polinómica de grado 4.
  ¿Qué ocurre si la función no está definida en el intervalo considerado?
  
  
  
  En la pestaña "Avanzado", se puede cambiar el tamaño de la ventana, incluir el menú y la barra de herramientas y otras opciones.
  
  
  
  
  Advertencia: Al guardar el archivo se abre el navegador con el archivo guardado.
  
  
  
  

Con ayuda de la página web de Manuel Sada Allo vamos a crear nuestra segunda web. Para ver como le ha quedado a él pincha aquí .
Lo difícil es crear el archivo Geogebra ya que el resto lo hace el propio programa. Para "coger" el archivo ggb pinchar aquí

• Creando el archivo

  • Abrir un nuevo archivo en el que sean visibles los ejes, la cuadrícula y la Hoja de Cálculo. En Opciones Rotulado seleccionar Ningún Nuevo Objeto.
  • En la hoja de cálculo escribir:
  • "Extender" estas tres celdas hasta 50. Esto es para poder introducir después los datos y que los puntos aparezcan en la gráfica.
  • Introducir unos cuantos números en las celdas Ax, Bx.
  • Para que no se tengan en cuenta los puntos que no están definidos crear una lista de puntos introduciendo en la línea de entrada: puntos=EliminaIndefinidos[C2:C50]
  • Para saber cuantos puntos se representaran definimos ndatos=Longitud[puntos]
  • Dibujar dos puntos "visibles", esto es, de tamaño grande y color destacado, para que se vea claramente que pueden ser "desplazados".
  • Representar la recta, a, que pasa por los puntos anteriores.
  • Para hallar la intersección de esta recta con las rectas verticales que pasan por cada uno de los puntos representados hay que definir dos listas:
    • lista1 = Secuencia[Perpendicular[Elemento[puntos, k], EjeX], k, 1, ndatos]
    • lista2 = Secuencia[Interseca[a, Elemento[lista1, k]], k, 1, ndatos]
  • Ocultar lista1.
  • Para ver la "desviación" de la recta respecto de cada uno de los puntos representados en términos de áreas dibujar el cuadrado correspondiente y sumar todas las áreas:
    • lista3 = Secuencia[Polígono[Elemento[puntos, k], Elemento[lista2, k], 4], k, 1, ndatos]
    • sumaC = Suma[lista3]
  • Añadir un cuadro de texto que muestre la suma anterior. Introducir en la ventana de texto: "Suma de áreas cuadradas = " + sumaC
  • Representar el ajuste lineal con: e = AjusteLineal[puntos]
  • Crear dos casillas de control:
    • una para controlar la recta "a" y sus puntos con texto "Búsqueda manual de la recta de regresión" y objetos: recta a, puntoA, punto B, lista2 y lista3.
    • y la otra para la recta del ajuste con texto "Recta de Regresión" y objetos: recta b.
  • Definir el coeficiente de correlación con: c_v=CPearson[puntos]
  • Introducir un texto que muestre este coeficiente: "Coeficiente de correlación = " + c_v
  • Ajustar la vista de Hoja de Cálculo para que solamente aparezcan las columnas A y B, desplazar la Ventana Gráfica, adornar textos....
  • Guardar el archivo.

• Exportar a html

  Para exportar un archivo Geogebra a un archivo html hay que ir a "Archivo, Exportación, Hoja de trabajo dinámico como Página Web (html)" o presionar Ctrl + Mayúsculas + W.
  
  Texto anterior:

  La siguiente tabla muestra las notas en Matemáticas (columna A de la tabla), Física e Historia (columna B de la tabla) de 12 alumnos.

  Alumno/a	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l
  Matemáticas	2	3	4	4	5	6	6	7	7	8	10	10
  Física	2	4	6	3	6	5	7	6	7	7	10	9
  Historia	4	3	5	6	5	5	6	5	4	7	8	7

  Texto posterior:

  • Representa las notas obtenidas en Matemáticas en las celdas A2-A13 y las de Física en B2-B13.
  • ¿Observas alguna relación entre las notas de Física y de Matemáticas? Anota el valor del coeficiente de correlación.
  • Añade en la tabla (en la fila 14) las notas de otro alumno más: 7 en Matemáticas y 8 en Física.
  • Mueve el punto correspondiente a los datos anteriores y observa los cambios en la tabla.
  • Para medir la correlación entre las notas de Matemáticas y las de Historia de los mismos 12 alumnos, modifica la nube de puntos cambiando las notas de Física por las de Historia.
  • ¿Cuál es ahora el valor del coeficiente de correlación? ¿Entre qué variables hay una correlación más fuerte, entre las notas de Matemáticas y Física o entre las de Matemáticas e Historia?
  • Mueve los puntos hasta conseguir que el coeficiente de correlación sea máximo. ¿Cuál es ese valor y qué aspecto tiene entonces la nube de puntos?
  • Intenta ahora que el coeficiente de correlación sea casi nulo. ¿Qué aspecto tiene ahora la nube de puntos?
    
    
    

Vamos a crear una página web en la que incluiremos dos ventanas de Geogebra: una de ellas en blanco con las herramientas e instrucciones necesarias para dibujar el incentro de un triángulo y la otra con el ejercicio resuelto en la que se mostrará la Barra de Navegación por Pasos de Construcción para poder seguir el proceso paso a paso.

• Creando el archivo de Geogebra

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Ocultar ejes cuadrícula y ventana algebraica.
  • Dibujar un triángulo. Para ello se puede utilizar la herramienta "Polígono"  o dibujar el triángulo con tres segmentos .
  • Utilizando la herramienta "Bisectriz"  dibujar las tres bisectrices correspondientes a los tres ángulos del triángulo.
  • Al dibujar las bisectrices se obtienen las bisectrices interiores y las exteriores. Para "aligerar" el dibujo se pueden ocultar las bisectrices exteriores utilizando la herramienta "Oculta objeto"  . (El objeto seleccionado desaparece al cambiar de herramienta).
  • Con  se puede obtener el incentro.
  • Dibujar la recta perpendicular a un lado y que pase por el incentro utilizando . (Se pueden dibujar las perpendiculares a los tres lados)
  • Dibujar el punto de intersección del lado y la perpendicular.
  • Utilizando , dibujar una circunferencia cuyo centro sea el incentro y pase por el punto intersección anterior.
  • Desde el Menú Vista, Mostrar Barra de Navegación por Pasos de Construcción...
  • Ir, desde la barra de Navegación por Pasos, al inicio.
  • Reducir el tamaño de la ventana.

• Exportando a html

  ANTES DE EXPORTAR: Crear una carpeta nueva para guardar los archivos generados. (Se crean varios archivos que deben estar "juntitos" para que la cosa funcione).

  Para exportar un archivo Geogebra a un archivo html hay que ir a "Archivo, Exportación, Hoja de trabajo dinámico como Página Web (html)" o presionar Ctrl + Mayúsculas + W.
  
  
  En la pestaña "Avanzado", se puede cambiar el tamaño de la ventana, incluir el menú y la barra de herramientas y otras opciones..
  
  
  Advertencia: Lo mejor es cambiar el tamaño de la ventana a su tamaño deseado antes de exportar. De lo contrario, el cambio de tamaño no puede mostrar todos los objetos de la hoja de cálculo correctamente, o no puede mostrar algunos de
  
  Guardar el archivo con un nombre fácilmente reconocible, por ejemplo: Incentro.html.
  
  Advertencia: Al guardar el archivo se abre el navegador con el archivo guardado.
  
  
  Al hacer clic en "Exportar" como archivo HTML, se crean varios archivos con extensión .jar. Los archivos geogebra.jar y geogebra_properties.jar son imprescindibles.
  Al subir la página a internet hay que subir estos archivos en una carpeta web, y el enlace al archivo HTML.
  
  En algunos casos, los archivos de GGB no se cargan correctamente porque el tipo de archivo no está "habilitado" en el servidor. En este caso hay permitir los archivos .GGB.
  
  Repetir el mismo proceso pero con un archivo de Geogebra en blanco. (No es necesario añadir texto ni antes ni después puesto que este archivo lo creamos solamente para coger el código del applet en blanco).
  
  Guardar este segundo archivo como Incentro2.html.  

• Modificando las herramientas disponibles

  • Abrir, con un editor de texto plano o con un editor de páginas web, el archivo html creado en el apartado anterior.
    

    ATENCIÓN:

    • Si se abre el archivo con "el bloc de notas" aparecen unas cuantas líneas de texto muy largas... hay que tener paciencia para buscar el código del applet de Geogebra.
    • Si se abre con Word hay que ir a Menú... Ver... Código fuente HTML. (Aparece una ventana con muchas, muchas líneas, la mayor parte generadas por Word). Paciencia. Buscar el código del applet.
    • Si se abre con un editor de páginas web todo es más sencillo.

  • Buscar código correspondiente al applet que corresponde a Geogebra que aproximadamente tendrá esta forma:

    <applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar" codebase="./"
    width="1266" height="750">
    <param name="ggbBase64" value="UEsDBBQACz...(Esto es el archivo ggb codificado). ....A=" />
    SI QUEREMOS MODIFICAR EL ARCHIVO DE GEOGEBRA Y QUE LOS CAMBIOS SE REFLEJEN EN EL HTML CREADO HAY QUE ADJUNTAR EL ARCHIVO .GGB  Y SUSTITUIR LA ENTRADA ANTERIOR POR:
        <param name="filename" value="RUTAYNOMBREDELARCHIVO.ggb"/>
    <param name="java_arguments" value="-Xmx512m" />
    <param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_algos.jar, geogebra_export.jar, geogebra_javascript.jar, jlatexmath.jar, jlm_greek.jar, jlm_cyrillic.jar, geogebra_properties.jar" />
    <param name="cache_version" value="4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0, 4.1.49.0" />
    <param name="showResetIcon" value="true" />
    <param name="showAnimationButton" value="true" />
    <param name="enableRightClick" value="true" />
    <param name="errorDialogsActive" value="true" />
    <param name="enableLabelDrags" value="true" />
    <param name="showMenuBar" value="false" />
    <param name="showToolBar" value="false" />
    <param name="showToolBarHelp" value="false" />
    <param name="showAlgebraInput" value="true" />
    <param name="useBrowserForJS" value="true" />
    <param name="allowRescaling" value="true" />
    Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
    </applet>
    

    Observación: Esto requiere una explicación mayor. Se puede ver en GeoGebra.org.

  • Cambiar <param name="showToolBar" value="false" /> por <param name="showToolBar" value="true" />
  • Añadir <param name = "'customToolBar" value="0 | 5 | 15 | 16 | 4 | 10 | 9 | 6 | 27" /> (Con un espacio entre la barra y cada número)

    Observación: En la barra de herramientas solamente se incluyen las correspondientes a esto códigos. Se puede ver en GeoGebra.es

  • Seleccionar el código completo del applet. Desde <applet..... hasta applet/>
  • Abrir el archivo Incentro.html con un editor y pegar el código copiado anteriormente antes del applet de Geogebra.
  • Añadir las instrucciones necesarias para "dirigir" la tarea.
  • Debe quedar algo parecido a esto:
    
    
    

• Página oficial

  La página oficial de Geogebra es http://www.geogebra.org/cms/.
  En ella podemos encontrar:

  • El enlace de descarga del programa que permite descargar el archivo para instalarlo en el ordenador (con o sin conexión a internet) o el acceso para trabajar sin instalar.
  • El acceso a la wiki, desde donde se nos ofrece la posibilidad de consultar construcciones realizadas con Geogebra, ver cursos on line, y acceder a numerosas páginas relacionadas con el programa.
  • El foro, en el que los usuarios pueden plantear sus dudas o ayudar a otros resolver los problemas planteados.
  • Y la ayuda on line.

• Dos cursos recomendables

  • GeoGebra en la enseñanza de las Matemáticas Un ameno y completo curso virtual, desde lo más básico hasta lo más avanzado, con más de 200 modelos de construcciones y una ayuda estructurada de herramientas, comandos y procedimientos.
  • GeoGebra en la Educación Primaria Un curso diseñado específicamente para extraer el máximo provecho didáctico de construcciones realizadas para la experimentación matemática con GeoGebra en Educación Primaria, con abundantes ejemplos, modelos, actividades y una ayuda estructurada de herramientas, comandos y procedimientos.

• Manuales de Geogebra

  • Manual para GeoGebra 4.0 de la página oficial de GeoGebra.
  • Ayuda en GeoGebra 3.2 Manual Oficial de la Versión 3.2 desarrollado en Español por Liliana Saidon (Traductora centrobabbage@geogebra.at)
  • Quickstart Guía rápida (tutorial) en formato pdf
    Manual Geogebra Un muy buen manual de Geogebra ofrecido por parte de AuladeMate.com
  • Uso del Color Dinámico para crear mapas de lugares

• Con GeoGebra

  • Manuel Sada. Áreas, funciones, derivadas e integrales, trigonometría, cicloides y trocoides,... La página más completa de GeoGebra en español.

    http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm

  • Rafael Losada. Presentaciones que muestran el gran potencial de Geogebra. Incluye un amplio e interesante informe sobre GeoGebra.

    http://www.iespravia.com/rafa/rafa_geogebra.htm
    http://www.iespravia.com/rafa/rafa.htm

  • José Antonio Mora. Excelente estudio de Geometría Dinámica y Arte realizado con Geogebra.

    http://jmora7.com/
    http://jmora7.com/Arte/arte.htm

  • Rafael Miranda Aplicaciones con GeoGebra (blog geometriadinamica).

    http://www.geometriadinamica.cl/

  • José Martínez Hernández U nidades didácticas realizadas con Geogebra. Geometría del triángulo , Ángulos en la circunferencia y Cónicas. Incluyen problemas y autoevaluaciones.

    http://www.dmae.upct.es/~pepemar/
    http://www.dmae.upct.es/~pepemar/triangulo/index.htm

  • Pep Bujosa Amplia colección de applet en Pràctiques amb GeoGebra (en Catalán)

    http://www.xtec.es/~jbujosa/GeoGebra/PracGeoGebra.htm

  • José Manuel Arranz Estudio de las funciones fundamentales.

    http://roble.pntic.mec.es/jarran2/geogebra/web/funcionlineal1.html.

  • Armando Landa Applet para reconocer los efectos de la variación de los parámetros sobre gráficas de diferentes tipos de funciones y relacionarlos con su expresión algebraica. Se incluyen sugerencias de uso en clase.

    http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Funciones.

  • José Miguel Lezama. Varios archivos de Geogebra creados por José Miguel Lezama, profesor de Matemáticas del I.E.S. "M. B. Cossio" de Haro (La Rioja).

• Proyectos

  • Proyecto Gauss Varios centenares de ítems didácticos que cubren contenidos curriculares de Matemáticas entre 10 y 16 años. Instituto de Tecnologías Educativas (ITE), España. Escuela 2.0.
  • Geometría Dinámica G4D. Página del grupo español de Geometría Dinámica G4D.
  • Geometriadinamica.org Está página desarrolla una plataforma de trabajo para alumnos de Matemáticas de la Escuela Nacional Preparatoria, Escuela Nacional Preparatoria UNAM y la Escuela Preparatoria del Estado de México 118, empleando software de Geometría Dinámica con potencia gráfica y conceptual para el quehacer matemático.
  • Grupo Intergeo

• Otros

  • Ejemplos de webs interactivas- Colección sobre tópicos varios, geometría analítica, trigonometría, etc. Incluye una guía didáctica para su implementación en la Ed. Secundaria. Manuel Sada.
  • Presentaciones con Geogebra de Rafael Losada.
  • Página sobre Polígonos Estrellados y Estrellas con Geogebra de María D. López de Briñas Ferragut
  • Herramientas GeoGebra para Física. Configuración de GeoGebra adaptada a la enseñanza de la Física. José Luis Hernández Neira
  • Herramientas GeoGebra para Física V.2. Nueva versión de la configuración de GeoGebra adaptada a la enseñanza de la Física. José Luis Hernández Neira
  • Algunos ejemplos de actividades para Física Actividades sobre simuladores desarrollados con las herramientas estándar de GeoGebra. José Luis Hernández Neira
  • Herramientas GeoGebra para Química. Configuración de GeoGebra adaptada a la enseñanza de la Química. José Luis Hernández Neira

• Un poco de aquí y otro poco de allí

  • Un ejemplo de aplicación a la Cinemática Plana de Iñigo Alonso
  • http://www.xeometria.com/ Ejercicios de desarrollos y dibujos geométricos. (En gallego)
  • ¿Cómo harías para...?- Método de enseñanza propuesto por la Liliana.
  • "Recurso educativo con Pirámide interactiva". Dirigido a la enseñanza primaria. Viene con sus respectivas sugerencias metodológicas. De Juan Pablo Serrano.
  • "Recurso educativo con Prisma interactivo". Este recurso está dirigido a la enseñanza primaria. Viene con sus respectivas sugerencias metodológicas. De Juan Pablo Serrano.
  • Sebastià Mora: http://www.xtec.cat/~smora.
  • Math247: http://math247.pbworks.com/GeoGebra.
  • Andreas Meier: http://www.realmath.de/Mathematik/newmathen.html .
  • Dave Matthews, Chair:
    http://www.mnwest.edu/fileadmin/static/website/dmatthews/Geogebra/GeogebraAppletIndexB.htm
    
  • Maddalena Falanga y Luciano Battaia http://www.batmath.it
  • Historia de los números: http://histoiredechiffres.free.fr/formation/ressources%20geogebra/sommaire.htm
  • Daniel Mentrard: http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/accueilmath.htm
  • AbcMaths: http://abcmaths.free.fr
  • Jöel Gauvain: http://lycee-valin.fr/maths/exercices_en_ligne/inequation1.html

• Suma de términos en una progresión aritmética

  Objetivos:

  • Construir un applet para ver gráficamente la suma de "n" términos de una progresión aritmética en el que puedan seleccionarse el primer término, la diferencia y el número de términos.
  • Crear un fichero html que se abra con cualquiera navegador, incluyendo texto informativo adicional y preguntas que deberán responder los usuarios.
    
    

  Planteamiento:

  • Para representar la progresión, utilizaremos pequeños rectángulos adosados, de altura 0,5 y base proporcional a cada uno de sus términos, de manera que formen casi un trapecio, y cuya área coincidirá con la suma.
    Para visualizar el área, haremos girar toda la figura alrededor del punto medio del lado oblicuo hasta formar un rectángulo.
  • Resolver el siguiente problema:
    Un jardinero ha plantado, en una orilla del camino que va al pozo, "n" árboles, separados unos de otros una distancia "d" y el primero situado a distancia "a_1" del pozo. Para regarlos dispone de un cubo, (que será la cantidad de agua que corresponde a cada árbol), por lo que debe llenar el cubo, ir hasta un árbol y regresar al pozo. ¿Qué distancia recorrerá para regar todos los árboles?
    

  Primero: Construcción básica:

  • Abrir un archivo nuevo de Geogebra con Ejes ocultos y ventana de álgebra visible. En Opciones, Rotulado: Sólo los nuevos puntos
  • Crear tres deslizadores.
    El primero, a_1, representará el primer término de la progresión que variará entre 1 y 5 con incremento de 0,1.
    El segundo, d, representará la diferencia y también variará entre 2 y 5 con incremento 0,1.
    El tercero, n, representará el número de términos y oscilará entre 1 y 10 con incremento de 1 unidad.
  • En la línea de entrada escribir: a_n = a_1 + (n - 1) d para calcular el último término de la progresión.
  • Dibujar un punto P (Nuevo Punto) en la zona inferior izquierda de la ventana gráfica. (Renombrar)
  • Insertar una imagen de un pozo y en Propiedades: Posición: Esquina1 y Esquina 2 introduccir P y P+(0,0.5)
  • Insertar la imagen de un árbol y fijar Esquina1 y Esquina2 en P + (a_1, 0) y P + (a_1+1, 0)
  • Crear un vector para trasladar la imagen: v = Vector[(a_1, 0), (a_1 + d, 0)]
    Ocultar este vector.
    
  • Desde la Línea de Entrada crear la secuencia de árboles con:
    Árboles= Secuencia[Traslada[imagen2, Vector[i v]], i, 1, n - 1]
  • Definir, desde la línea de entrada, los puntos A, B y C ligados a P de la siguiente forma:
    A=P+(0,2)
    B = A + (0, 0.5)
    C = B + (1, 0)
    Ocultar estos puntos.
  • Cada término de la progresión se representará mediante un rectángulo de altura 0.5 y base su valor. Para ello, escribir la línea de entrada:
    Terminos = Secuencia[Polígono[A + (i - 1) (B - A), A + i (B - A), A + i (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C - B), A + (i - 1) (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C - B)], i, 1, n]
    
  • Para hallar el punto sobre el que girará toda la figura, escribir sucesivamente en la línea de entrada:
    D = A + (a_1 + a_n, n/2)
    M = PuntoMedio[A, D].
  • Crear un deslizador tipo Ángulo, α, y que oscile entre 0 y 180. Cuidado: No borrar el símbolo de grados, no puede introducirse desde el teclado.
  • En Propiedades/Básico de este deslizador, escribir Suma en Subtítulo y en Mostrar Rótulo escoger Subtítulo.
  • Para construir la figura girada introducir en la línea de entrada:
    TerminosGirados = Rota[Terminos, α, M]
    

  Segundo: Reorganizar, ajustar, añadir textos...

  • Crear un nuevo punto que sirva de referencia para situar los textos: E = A + (n + 1) (B - A) + (a_1 + a_n) (C - B) / 2
  • Ocultar todos los puntos.
  • Con la herramienta Insertar Texto, poner:
    S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = $ \frac{(a_1 \; + \; a_n) ·n}{2} $
    marcando la casilla Fórmula LaTeX antes de cerrar. Los símbolos $ delimitan el código LaTeX.
    Hacer clic derecho en él, y en Propiedades/Posición, poner E-(0,1) para Origen. En la pestaña Texto, activar la N, y en la pestaña Color cambiar color. Finalmente, en la pestaña Avanzado, poner α==180° y cerrar.
  • Con la herramienta Insertar Texto, poner:
    a_1 + " + " + (a_1 + d) + " + ... + " + a_n + " = $ \frac{ (" + a_1 + " + " + a_n + ")" + n + " }{ 2} $ = " + ((a_1 + a_n)n / 2)
    marcando la casilla Fórmula LaTeX antes de cerrar. Hacemos clic derecho en él, y en Propiedades/Posición, ponemos E-(0,4) para Origen. En la pestaña Avanzado, poner α == 180° && n>2 y cerrar.
  • Para que los rectángulos girados aparezcan de forma progresiva al mover el deslizador Suma:
    • Hacer clic derecho en la secuencia TerminosGirados, en la ventana gráfica o en la algebraica, en Propiedades, seleccionar la pestaña Avanzado.
    • En Condición para mostrar el Objeto, poner α > 0, y en Rojo, Verde y Azul respectivamente: 1, cos(α/2) y cos(α/2).
  • Guardar el archivo.

  Tercero: Creación de un fichero html

  • En la ventana de álgebra, desmarcar todos los puntos y cerrarla. Situar el deslizador Suma a la izquierda del todo.
  • Exportar la construcción, con Archivo/Exporta/Hoja de trabajo Dinámica cómo Página Web (html) ... En Título poner "Suma de progresiones aritméticas", y en Autor "tu nombre". En Texto anterior a la construcción, copiar el enunciado del problema y las siguientes instrucciones:
    Utiliza los deslizadores para fijar el término inicial, la diferencia y el número de términos. Luego utiliza el deslizador "Suma" para ver cómo se obtiene la suma.
  • Y en Texto tras la construcción:
    1. ¿Qué distancia recorrerá para regar 8 árboles equidistantes 2,5 metros si el primero está a 1m del pozo?. En general, ¿cuál es la fórmula que da la suma de los números naturales de 1 a n?
    2. Halla la suma de todos los impares menores que 10. ¿A que es igual la suma de los primeros n números impares?
    3. Plantea una situación en la que la distancia recorrida sea de 42 m.
  • En la pestaña Avanzado marcar todas las casillas del panel Funcionalidad, y las casillas Guarda, Imprime, Deshace y Mostrar la barra de herramientas del panel Interface de Uso. En Ancho poner 1024 y en Altura 768, y Exportar.
  • Guardar la construcción.

• Suma de los términos de una progresión geométrica

  Objetivo:

  Crear ahora un applet con una demostración visual y dinámica de la suma de una progresión geométrica ilimitada de razón ¼ .

  Planteamiento:

  Dividir un cuadrado en cuatro cuadrados iguales, y colorear tres de ellos de rojo, amarillo y azul. Dividir el cuadrado restante cuatro cuadrados, colorear como los anteriores y repetir el proceso. Después de unas cuantas iteraciones, una tercera parte del cuadrado inicial estará coloreada de rojo, otra de amarillo y la tercera de azul, visualizando que:
  "La suma de los términos de una progresión geométrica con primer término 1/4 y razón 1/4 es 1/3".
  

  Abrir un nuevo archivo con:
  • Ejes ocultos
  • Cuadrícula visible
  • Ventana de álgebra visible
  • Objetos Auxiliares visibles
  • Rotulado: Ningún Objeto Nuevo

  
  

  • Situar un punto A en la parte inferior izquierda de la pantalla, y ocultarlo.
    
  • Introducir el lado del cuadrado en la línea de entrada: a = 8
  • Crear un deslizador, n, en la esquina superior izquierda y establecer su mínimo, máximo e incremento en 1, 10 y 1 respectivamente. Dejar en n = 3 y ocultar su rótulo.
  • Crear el cuadrado de referencia introduciendo en la línea de entrada:
    Polígono[A, A + ( -a, 0) , 4]
    Se indican los dos vértices superiores en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). En Opciones cambiar el sombreado a cero y el color a un verde oscuro.
    Ocultar los vértices (pueden verse en la ventana algebraica, si en el menú Vista se activa Objetos Auxiliares).
  • Crear la secuencia de cuadrados situados en la diagonal:
    Secuencia[Polígono[A+( -a/2^i,-a/2^i) ,A+( -a/2^(i-1),-a/2^i) ,4] ,i, 1, n]
    Cambiar el color a Amarillo ((255, 255, 0) , por ejemplo) , el grosor de trazo a 0 y el sombreado a 75.
  • Crear la secuencia de cuadrados situados por encima de la diagonal:
    Secuencia[Polígono[A + (-a/2^i, 0), A + (-a/2^(i-1), 0), 4], i, 1, n]
    Cambiar el color a Rojo ((255, 0, 0) , por ejemplo), el grosor de trazo a 0 y el sombreado a 75.
  • Crear la secuencia de cuadrados situados por debajo de la diagonal:
    Secuencia[Polígono[A + (0, -a/2^i), A + (-a/2^i, -a/2^i), 4], i, 1, n]
    Cambiar el color a Azul ((0, 0, 255) , por ejemplo) , el grosor de trazo a 0 y el sombreado a 75.
  • Con la herramienta Inserta Texto, crear un texto por encima del cuadrado y a la derecha del deslizador:
    Cada cuadrado de cada color tiene área igual a 1/4 de la del anterior
    
  • Crear el texto dinámico para la suma. Primero las potencias mayores que uno, con el signo '+':
    Secuencia[Texto["+\; \frac{ 1 }{ 4^" + (k) + "}"], k, 2, 8]
    Esto crea una lista de textos y los presenta superpuestos y sin interpretar los códigos LaTeX.
    Ocultar la lista.
  • Con la herramienta Inserta Texto, crear un texto (texto2) con el resultado y la fórmula:
    = \; \frac{ 1 }{3 } \; \; \left( = \; \frac{ \frac{ 1 }{4 } }{1 \; - \; \frac{ 1 }{4 } } \; = \; \frac{ 1 }{4 \; - \; 1 } \right)
    Activar la casilla Fórmula LaTeX para comprobar que el resultado es el deseado, y lo ocultar.
  • Crear una nueva lista encadenando ¼, la secuencia de textos (lista4), unos puntos suspensivos y el texto anterior (texto2):
    Primero[Encadena[{{"\frac{ 1 }{ 4}"}, lista4, {"+\;..."}, {texto2}}], n]
    El comando Primero[lista, n] selecciona los n primeros términos de lista. Le copiamos el estilo visual del otro texto (texto1)
  • Insertar el texto en la vista gráfica escribiendo en la línea de entrada TablaTexto[lista5].
  • Para acabar, le damos al fondo de pantalla un color verde claro, reducimos el tamaño de la pantalla y dejamos el deslizador en el mínimo.
  • Exportar como html y plantear algunas preguntas relacionadas con el applet.

• Amortización

  Para crear el archivo:

  • Abrir un nuevo archivo.
  • Crear tres deslizadores, el primero de ellos llamado Capital con valores desde 1000 hasta 100000 e incremento 100, el segundo, llamado r que cambie de 0 a 10 con incremento de 0.1 y el tercero llamado tiempo, desde 1 a 30 con incremento de 1.
    
  • Definir:
    • ri = r / 100
    • Cuota = Capital ri (1 + ri)^t / ((1 + ri)^t - 1)
    • DeudaPendiente = Secuencia[Capital (1 + ri)^i - (Cuota ((1 + ri)^i - 1)) / ri, i, 0, t]
    • DeudaPendienteInicial = Secuencia[Elemento[DeudaPendiente, i] (1 + r / 100), i, 1, t + 1]
    • DeudaMenosCuota = Secuencia[Elemento[DeudaPendienteInicial, i] - Cuota, i, 1, t]
    • lista2 = Secuencia[i, i, 1, t + 1]
    • lista3 = Secuencia[i, i, 1, t]
    • b = Barras[lista2, DeudaPendiente, 0.8]
    • c = Barras[lista2, DeudaPendienteInicial, 0.8]
    • d = Barras[lista3, DeudaMenosCuota, 0.8]
    • a = Elemento[Ultimo[Ordena[DeudaPendienteInicial]], 1]
    • Amortizado = Secuencia[Cuota - ri Elemento[DeudaPendiente, i], i, 1, t]
    • InteresesPagados = Secuencia[Cuota - Elemento[Amortizado, i], i, 1, t]
  • Crear un deslizador llamado Mensualidad que cambie entre 1 y t con incremento 1.
  • Por último: Introducir un texto que muestre la cuota, la deuda amortizada, los intereses pagados y la deuda pendiente en función de la mensualidad seleccionada.
  • Para evitar que las "barras" se salgan de la ventana gráfica:
    • Definir: a = Elemento[Ultimo[Ordena[DeudaPendienteInicial]], 1]
  • Y en Configuración de la ventana gráfica introducir algo parecido a:
    
    

  
  Para finalizar, exportar como página web con textos explicativos y preguntas concretas.
  
  

• Funciones definidas a trozos

  En un nuevo archivo de GeoGebra:

  • Crear el deslizador a que cambie entre -10 y 5 con incremento 0.1 y otro deslizador b que cambie entre a y 10.
  • Introducir tres funciones g(x), h(x) y k(x).
  • Definir la función f como: f = Si[x < a, g, Si[x ≤ b, h, k]]
  • Insertar tres casillas de entrada vinculadas a las funciones g, h y k, indicando a qué intervalo de la función corresponden.
  • Por último: Exportar como html con los textos anterior y posterior deseados.

  
  

• Composición de funciones

  • Abrir nuevo archivo de GeoGebra
  • Definir la función f: f(x) = -0.1 x (x + 3) (x - 5) y la función g: g(x) = 0.2 (x² - x - 5)
  • Crear la recta r:y=x.
  • Cambiar el estilo y color de cada una de las tres funciones anteriores.
  • Definir:
    1. Un punto A en el eje X.
    2. La recta b, perpendicular al ejeX que pasa por A.
    3. El punto B, intersección de f con la recta b.
    4. El vector u, desde A hasta B.
    5. La recta e que pasa por B y es paralela al eje X.
    6. El punto C intersección de r con la recta anterior, e.
    7. El vector v: Vector[B,C].
    8. La recta c, perpendicular a v que pasa por C.
    9. El punto C intersección de la función g con c.
    10. El vector w, que va desde C hasta D.
    11. La recta perpendicular a w que pasa por D.
    12. El punto E, intersección de b y d.
    13. El vector t como Vector[D,E].
  • Definir la función compuesta h(x)=g(f(x)).
  • Por último mejorar la construcción introduciendo textos explicativos, "animando" los vectores, cambiando estilos y colores... y exportar como html.

  
  

• Algo para el recuerdo

  Abrir el archivo GGB adjunto y crear el html correspondiente

• Funciones trigonométricas

  • Abrir nuevo archivo de GeoGebra con ejes visibles con distancia de numeración 0,5 y con cuadrícula visible de 0,25.
  • Definir un punto E sobre el eje X y otro punto O como O = Interseca[EjeX, EjeY].
  • Definir un número ang=x(E).
  • Crear una circunferencia c con centro en O y radio 1.
  • Definir A como A=(0,1).
  • Rotar el punto A un ángulo igual a ang. Renombrarlo como P.
  • Medir el ángulo AOP.
  • Definir el segmento que representará el seno: sen=Segmento[P,x(P),0].
  • Dibujar el triángulo de vértices P, O, (x(P),0).
  • Crear los puntos F y G como F=((x(E),0); G=((x(E),x(P)).
  • Crear tres segmentos FG, FE y OF. Renombrarlos como bb, h y j.
  • Crear los puntos H y T definidos como (x(E),y(P)) y (x(E),y(P)/x(P)), respectivamente.
  • Activar los rastros de H, T y G. Cambiar el color de estos puntos.
  • Crear varios textos explicativos.

• Giros

  • Abrir un archivo nuevo de GeoGebra. Ocultar ejes y cuadrícula.
  • Insertar una imagen, por ejemplo esta.
  • Crear un punto A.
  • Rotar la imagen anterior un ángulo (el que queramos) respecto de A.
  • Señalar un punto en la figura y otro en el mismo lugar de la figura girada.
  • Dibujar el segmento que une estos puntos y su mediatríz.
  • Repetir lo anterior con otros dos puntos.
  • Crear el punto intersección de las dos mediatrices.
  • Medir el ángulo de rotación.
  • Insertar una casilla de control para Mostrar/Ocultar objetos y seleccionar todos excepto las dos imagenes.
  • Desactivar esta casilla de control.

• Frisos

  Friso: motivo que se repite en una única dirección.

  Los movimientos o isometrías permitidos son aquellos que dejan invariante a la recta que pasa por el centro del motivo o grupo de friso. Son los siguientes:

  • La identidad (este movimiento siempre está en un grupo de simetría) (I).
  • Traslaciones en la dirección de la recta centro (Tv, en donde v es el vector de traslación).
  • Giros con centro un punto de la recta centro y ángulo 180º (G 180º ).
  • La simetría respecto de la recta centro ( Sr).
  • Simetrías respecto de rectas perpendiculares a la recta centro (Sp).
  • Simetría con deslizamiento con eje la recta centro y deslizamiento en la dirección de dicha recta, o composiciones de los anteriores.

  Dada una figura cuyo grupo de simetría es un friso, llamamos vector fundamental  al vector no nulo y de norma mínima tal que la traslación (Tv) pertenece al grupo de simetría. Llamamos rectángulo fundamental a cualquier rectángulo que contenga al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector fundamental.

  Sólo hay siete grupos de frisos esencialmente distintos, que denotamos por la letra F seguida de un subíndice, que denota el orden de los giros que aparecen, y añadimos un superíndice si el grupo no conserva la orientación ( contiene simetrías ). 

  G 180º	Conservan la orientación (sin simetrías)	No conservan la orientación (Sr o Sp)
  No	F1	F11,F12, F13
  Sí	F2	F21,F22

  Grupo primero (F1)

  Formado sólo por traslaciones (Tv)  de vector fundamental v que coincide con uno de los lados del rectángulo fundamental. Giro de orden 1, identidad, y conserva la orientación.

  Grupo segundo (F2)

  Contiene traslaciones (Tv) y giros de 180º (G180º), de orden2, con centros en la recta central y separados la mitad de la longitud del lado del rectángulo fundamental.

   Grupo tercero (F11)

  Se da una simetría respecto de la recta que es el centro de la celosía (Sr) y una traslación de vector v (Tv). 

  Grupo cuarto (F12)

  Una simetría de eje vertical (Sp) y traslaciones (Tv).

   Grupo quinto (F13)

  Aquí hay una simetría con deslizamiento, una simetría respecto del eje horizontal y después un desplazamiento (cuyo vector es la suma de uno horizontal, v/2, normalmente y otro vertical, nv, para n = entero).

   Grupo sexto (F21)

  Se añade a F2  una simetría respecto de la la recta central (Sr). Tiene también simetría vertical (Sp)  ya un giro de 180º (G180º) equivale a dos simetrías de ejes perpendiculares y una traslación. El centro de giro esta en la intersección de los ejes de simetría horizontal y vertical.

   Grupo séptimo (F22)

  Los ejes de simetría son también perpendiculares (Sp) pero no pasan por el centro de giro como en el caso anterior (sino por el punto medio entre dos centros de giro)(G180º), no hay simetría horizontal.

   

• Introducción

  El método de la telaraña (en inglés Cobwebbing) es útil para la visualización de soluciones de las ecuaciones de recurrencia simple.
  Dado un valor inicial x₀, la recurrencia x_n+1 = f(x_n) determina una secuencia de puntos
  x₀, x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁) = f(f(x₀),..., x_n = f(x_n-1) = f(f(...f(x₀)...))
  
  Por lo general, interesa el comportamiento a largo plazo de esta secuencia. ¿Converge?¿Tiene límite?¿Qué más se puede decir de la secuencia?
  
  El método de la telaraña proporciona un enfoque visual para determinar el comportamiento a largo plazo del sistema. En particular, se puede utilizar para mostrar directamente cómo la pendiente de la función f determina gran parte de ese comportamiento.
  
  Vamos a crear una aplicación permitirá cambiar el punto inicial, la función de repetición f, y el número de iteraciones que aparecen en la telaraña.

• Enunciado de un problema concreto

  Determinar la dinámica de una población cuya densidad de población sigue el modelo
  

  Para ello hay que construir una curva de respuesta funcional para la ecuación de la población representando los valores de N (t +1) en función de N (t).
  
  Los puntos de equilibrio, aquellos en los que N (t +1) = N (t), se obtienen por la intersección de la curva con la recta y = x.

  El número de intersecciones es precisamente el número de puntos de equilibrio.

  
  
  

• Creando la primera parte del archivo geogebra

  • En la línea de entrada introducir la función .
    
  • Introducir y = x para trazar la recta diagonal. Por defecto se le asigna el nombre "a".
    
  • Seleccionar la Herramienta Punto y marcar un punto A del eje X.
    
  • Seleccionar la herramienta Línea perpendicular para crear una recta vertical que pasa por A.
    
  • Con la herramientea Intersección de puntos , marcar la intersección de la recta vertical y la función.
  • De nuevo con la herramienta Línea perpendicular , crear la recta horizontal que pasa por el punto (x₀, f(x₀)).
  • Crear un punto en la intersección de la línea horizontal y la línea diagonal y = x utilizando Intersección de puntos .
  • Ocultar las rectas haciendo clic derecho sobre cada uno y desmarcando la casilla "Mostrar objetos".
  • Utilizar la herramienta Segmento para agregar segmentos entre cada par de puntos.
    
  • Ocultar el rótulo de aquellos objetos para los que no es necesario. Para ello hacer clic en esos objetos y anular la opción "Mostrar rótulo".
    
  • Cambiar el aspecto visual de la figura. (Se puede usar la herramienta Copiar estilo visual ).
    
  • Ocultar los puntos que aparecen.
    

• Iteraciones posteriores

  Para poder hacer varias repeticiones de forma automática y poder elegir el número de repeticiones se puede utilizar el comando Secuencia.

  • Crear un control deslizador que se utilizará para cambiar dinámicamente el número de iteraciones que aparecen en la ventana.
  • Cambiar el nombre del deslizador llamándolo "numitera".
  • Establecer el valor mínimo a 1, el valor máximo a 50, y el incremento a 1.
  • En la Línea de Entrada escribir:

    vv = ListaIteración[f,x(A),numitera]
    Ppuntos = Secuencia[(Elemento[vv, i], 0), i, 1, numitera]

  • Para crear los segmentos horizontales y verticales con el comando de Secuencia escribir las tres líneas siguientes en la entrada:

  Segmento[A,(x(A),f(x(A)))] 
  Horizontal=Secuencia[Segmento[(Elemento[vv, i],Elemento[vv, i+1]),(Elemento[vv, i+1],Elemento[vv, i+1])], i, 1, numitera-1]
  Vertical=Secuencia[Segmento[(Elemento[vv, i], Elemento[vv, i]), (Elemento[vv, i], Elemento[vv, i+1])], i, 2, numitera] 

• Exportar como html y modificar

  Para exportar un archivo Geogebra a un archivo html hay que ir a "Archivo, Exportación, Hoja de trabajo dinámico como Página Web (html)" o presionar Ctrl + Mayúsculas + W.
  Guardar el archivo html con el nombre Cobwebbing.html
  
  Después de que el archivo HTML se ha creado, se puede modificar directamente o con un editor HTML. Se puede añadir títulos adicionales, enlaces, y el texto, o actualizar la apariencia.
  

• Interacción con JavaScript

  Una característica particularmente útil de Geogebra es que puede interactuar con JavaScript.
  Vamos a crear un sencillo formulario que permite introducir una nueva función, similar al mostrado en la figura.
  
  
  El código de Javascript requerido es mínimo.
  Para implementar el formulario, insertar el siguiente bloque de código HTML inmediatamente antes del applet:

  < form >
     <p align = center>
       Cambiar la función: <b> f(x) = </b>
       <input type = "text" name = "T1" size = "20" value = " 10x/(1+x^2) " >
       <input type = "button" value = "Enviar" name = "B1" onclick ="document.ggbApplet1.evalCommand('f(x)=' + T1.value);">
     </p>
  </form>
       <applet name = " ggbApplet1 "  .... 

  El comando que se utiliza para interactuar con Geogebra es evalComand(), que toma como argumento una cadena y es equivalente a escribir un comando en la línea de entrada.
  
  Para que GeoGebraJavaScript interaccione con JavaScript es necesario que en el código del applet aparezca MAYSCRIPT="". Debe aparecer algo como:

  <applet name="ggbApplet1" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"	codebase="./" mayscript="true"...>

• Representación población/tiempo

  Con la información obtenida a través del proceso cobwebbing, podemos observar el desarrollo de la población a través de varias generaciones y determinar la dinámica subyacente que serán expuestas por la población.

  
  
  Para ello se puede representar el tamaño de la población en función de los periodos de tiempo transcurridos.
  
  Insertar otro archivo geogebra que utilice los datos obtenidos del anterior.
  

  • Abrir un nuevo archivo de Geobebra.
  • Crear los siguientes objetos del archivo anterior.
  • Un deslizador llamado numitera, de intervalo 1 a 50 e incremento 1.
  • Una función f(x)=10 x/(x ^ 2+1).
  • Crear:
  • Una lista de puntos llamada Ppuntos y definida como:

    Ppuntos = {(0, 0), (0, 0)}

  • Una lista de puntos definida como

    lista1 = Secuencia[(j - 1, f(x(Elemento[Ppuntos, j]))), j, 1, numitera]

  • Una lista de segmentos definida como

    lista2 = Secuencia[Segmento[Elemento[lista1, k], Elemento[lista1, k + 1]], k, 1, numitera - 1]

  • Exportar este archivo como html. Llamar a este archivo Auxiliar.html
  • Con un editor de texto plano o un editor de HTML, abrir el archivo Auxiliar.html y copiar el applet correspondiente a Geogebra.
  • Con el editor, abrir el archivo Cobwebbing.html y, después del applet de Geogebra existente pegar el nuevo applet.
  • Como ahora hay dos applet de Geogebra hay que renombrar cada uno de ellos:
    En el primer applet cambiar

    <applet name="ggbApplet" ...

    por

    <applet name="ggbApplet1" ... y añadir <param name="ggbOnInitParam" value="applet1"/>

    
    En el segundo cambiar

    <applet name="ggbApplet" ...

    por

    <applet name="ggbApplet2" ... y añadir <param name="ggbOnInitParam" value="applet2"/>

  
  
  

• Lo difícil. Destripando Javascript

  Para que interactúen ambos archivos hay que introducir el siguiente código después de segundo applet:

  <script type="text/javascript">
     function ggbOnInit(param) {
      if (param == "applet1") {
           // esto es para copiar los datos del ggbApplet1
  	       document.ggbApplet1.registerObjectUpdateListener("numitera", "Iteraciones");
  	       document.ggbApplet1.registerObjectUpdateListener("A", "XDePuntos");
  	       document.ggbApplet1.registerObjectUpdateListener("f", "CambiaFunción");
  	       document.ggbApplet1.registerObjectUpdateListener("Ppuntos", "ListaDePuntos");
         }
        }
       function Iteraciones(objName) {
  	       // toma el valor del applet1 y lo pasa al applet2 
         var  NuevoValor = document.ggbApplet1.getValue(objName); 
         document.ggbApplet2.setValue(objName, NuevoValor); 
        }
       function XDePuntos(objName) { 
         coordX= document.ggbApplet1.getXcoord("A"); 
         document.ggbApplet2.setCoords("B", coordX, 0); 
       }
   function ListaDePuntos(objName) { 
        Pptos = document.ggbApplet1.getValueString("Ppuntos"); 
        document.ggbApplet2.evalCommand(Pptos);
       }
    function CambiaFunción(ObjName) { 
        func = document.ggbApplet1.getValueString("f");
        document.ggbApplet2.evalCommand(func);
       }
  </script>
  						     

  Por último hay que "ajustar" el tamaño de los applet para poder verlos en la misma ventana del navegador.

• ¿No ha funcionado?

  Aquí está lo que yo he hecho